Диагональ

Диагональ (греч. διαγώνιος от δια- «через» и γώνια «угол») в математике имеет геометрический смысл, а также используется при описании квадратных матриц.

Многоугольники и многогранники

Шестиугольник с диагоналями

Для многоугольников диагональ — это отрезок, соединяющий две не смежные вершины. Так, четырёхугольник имеет две диагонали, соединяющие противолежащие вершины. У выпуклого многоугольника диагонали проходят внутри него. Многоугольник выпуклый тогда и только тогда, когда его диагонали лежат внутри.

Пусть $n$ — число вершин многоугольника, вычислим $d$ — число возможных разных диагоналей. Каждая вершина соединена диагоналями со всеми другими вершинами, кроме двух соседних и, естественно, себя самой. Таким образом, из одной вершины можно провести $n-3$ диагонали; перемножим это на число вершин

$(n-3)\times n$,

однако, мы посчитали каждую диагональ дважды (по разу для каждого конца) — отсюда,

$d={\frac {n^{2}-3n}{2}}.\,$

Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две его вершины, не принадлежащие одной грани. Так, на изображении куба отмечена диагональ $A'C$. Отрезок же $B'D'$ диагональю куба не является (но является диагональю одной из его граней).

Аналогично можно определить диагональ и для многогранников в пространствах бо́льших размерностей.

Диагонали квадрата и прямоугольника

Чтобы измерить диагональ квадрата или прямоугольника, нужно знать их стороны.

• Диагональ квадрата:

$d_{a}=a{\sqrt {2}}=2a\rho$;

• Диагональ прямоугольника:

$d_{ab}={\sqrt {2}}{\frac {a+b}{2}}=\rho (a+b)$.

Матрицы

В случае с квадратными матрицами, главная диагональ является диагональной линией элементов, которая проходит с северо-запада на юго-восток. Например, единичная матрица может быть описана, как матрица, имеющая единицы на главной диагонали и нули вне её. Диагональ с юго-запада на северо-восток часто называется побочной диагональю. Наддиагональными элементами называются такие, что лежат выше и правее главной диагонали. Поддиагональными — те, что ниже и левее. Диагональная матрица — такая матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.

Теория множеств

По аналогии, подмножество декартового произведения X×X произвольного множества X на само себя, состоящее из пар элементов (x, x), называется диагональю множества. Это — единичное отношение, оно играет важную роль в геометрии: например, константные элементы отображения F с X в X могут быть получены сечением F с диагональю множества X.

Ссылки

• Диагонали многоугольника с интерактивными анимациями
• Диагонали многоугольника с MathWorld.
• Диагонали матриц от MathWorld.