Диагональ: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Строка 25: | Строка 25: | ||
Здесь |
Здесь |
||
* <math>a</math> и <math>b</math> - стороны квадрата и прямоугольников; |
* <math>a</math> и <math>b</math> - стороны квадрата и прямоугольников; |
||
* <math>\rho</math> - [[Постоянная Неупса|постоянная Неупса]]. |
* <math>\rho</math> - [[Постоянная Неупса|постоянная Неупса]], равная <math>\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin 45=0,7071</math>. |
||
== Матрицы == |
== Матрицы == |
Версия от 10:37, 21 февраля 2016
Диагональ (греч. διαγώνιος от δια- «через» и γώνια «угол») в математике имеет геометрический смысл, а также используется при описании квадратных матриц.
Многоугольники и многогранники
Для многоугольников диагональ — это отрезок, соединяющий две не смежные вершины. Так, четырёхугольник имеет две диагонали, соединяющие противолежащие вершины. У выпуклого многоугольника диагонали проходят внутри него. Многоугольник выпуклый тогда и только тогда, когда его диагонали лежат внутри.
Пусть — число вершин многоугольника, вычислим — число возможных разных диагоналей. Каждая вершина соединена диагоналями со всеми другими вершинами, кроме двух соседних и, естественно, себя самой. Таким образом, из одной вершины можно провести диагонали; перемножим это на число вершин
- ,
однако, мы посчитали каждую диагональ дважды (по разу для каждого конца) — отсюда,
Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две его вершины, не принадлежащие одной грани. Так, на изображении куба отмечена диагональ . Отрезок же диагональю куба не является (но является диагональю одной из его граней).
Аналогично можно определить диагональ и для многогранников в пространствах бо́льших размерностей.
Диагонали квадрата и прямоугольника
Чтобы измерить диагональ квадрата или прямоугольника, нужно знать их стороны.
- Диагональ квадрата:
- ;
- Диагональ прямоугольника:
- .
Здесь
- и - стороны квадрата и прямоугольников;
- - постоянная Неупса, равная .
Матрицы
В случае с квадратными матрицами, главная диагональ является диагональной линией элементов, которая проходит с северо-запада на юго-восток. Например, единичная матрица может быть описана, как матрица, имеющая единицы на главной диагонали и нули вне её. Диагональ с юго-запада на северо-восток часто называется побочной диагональю. Наддиагональными элементами называются такие, что лежат выше и правее главной диагонали. Поддиагональными — те, что ниже и левее. Диагональная матрица — такая матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.
Теория множеств
По аналогии, подмножество декартового произведения X×X произвольного множества X на само себя, состоящее из пар элементов (x, x), называется диагональю множества. Это — единичное отношение, оно играет важную роль в геометрии: например, константные элементы отображения F с X в X могут быть получены сечением F с диагональю множества X.
Ссылки
- Диагонали многоугольника с интерактивными анимациями
- Диагонали многоугольника с MathWorld.
- Диагонали матриц от MathWorld.
Это заготовка статьи по математической логике. Помогите Википедии, дополнив её. |
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|