Среднее геометрическое: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Нет описания правки |
Oleg4280 (обсуждение | вклад) м откат правок 46.250.74.97 (обс.) к версии Alexei Kopylov |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Средним геометрическим''' нескольких положительных |
'''Средним геометрическим''' нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально: |
||
: <math>G(x_1, x_2, \ldots, x_n)=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n}</math> |
: <math>G(x_1, x_2, \ldots, x_n)=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n}</math> |
||
Версия от 20:50, 14 октября 2017
Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально:
Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным[1], поскольку среднее геометрическое двух чисел и обладает следующим свойством: , то есть среднее геометрическое относится к первому числу так же как второе число к среднему геометрическому.
Свойства
- Так же, как и любое другое среднее значение, с.г. лежит между минимумом и максимумом из всех чисел:
- Среднее геометрическое двух чисел является средним арифметическим-гармоническим этих чисел, то есть равно пределу двух последовательностей:
- Среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их среднего арифметического и среднего гармонического[2].
Среднее геометрическое взвешенное
Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел с вещественными весами определяется как
В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.
В геометрии
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.
Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, тогда высота, восстановленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину.
Расстояние до горизонта сферы есть среднее геометрическое между расстоянием до самой ближней точки сферы и расстоянием до самой дальней точки сферы.
Обобщения
- Среднее геометрическое можно рассматривать как предел средних степенных при .
- Среднее геометрическое является средним Колмогорова при
Примечания
- ↑ «Среднее пропорциональное». — статья из Большой советской энциклопедии.
- ↑ Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923.
См. также
- Среднее значение
- Среднее арифметическое
- Среднее гармоническое
- Среднее квадратическое
- Геометрическая пропорция
- Геометрическая прогрессия
- Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим
- Неравенство Швейцера
Для улучшения этой статьи желательно:
|