Спектр кольца

Спектр кольца в математике — множество всех простых идеалов данного коммутативного кольца. Обычно спектр снабжается топологией Зарисского и пучком коммутативных колец, что делает его локально окольцованным пространством. Спектр кольца $R$ (далее под словом «кольцо» подразумевается «коммутативное кольцо с единицей») обозначается $\operatorname {Spec} \,R$.

Топология Зарисского

Основная статья: Топология Зарисского

Топологию на спектре кольца можно ввести двумя эквивалентными способами, и оба способа активно используются в алгебраической геометрии.

База топологии Зарисского

Первый способ ввести топологию Зарисского на спектре кольца — указать базу топологии. Базой служат подмножества спектра вида $D_{f}=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} \,R:f\notin {\mathfrak {p}}\}$, где $f$ — произвольный элемент кольца $R$.

Легко проверяются следующие утверждения:

$D_{1}=\operatorname {Spec} \,R$

$D_{f}\cap D_{g}=D_{fg}$

Из этих формул следует, что семейство всех подмножеств вида $D_{f}$ является покрытием спектра, замкнутым относительно пересечений, то есть является базой некоторой топологии.

Спектр кольца, как правило, не является хаусдорфовым пространством. С другой стороны, спектр любого кольца удовлетворяет аксиоме отделимости T₀ и является компактом.

Для доказательства компактности достаточно проверить, что из покрытия элементами базы можно выбрать конечное подпокрытие. Если система множеств $\{D_{f}:f\in A\}$ является покрытием спектра, это означает, что идеал кольца R, порождённый множеством A, содержит единицу. То есть справедливо равенство: $1=k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+\cdots +k_{n}a_{n}$, в котором $a_{i}$ являются элементами множества A, а $k_{i}$ — некоторые элементы кольца R. Но тогда $\{D_{f_{1}},D_{f_{2}},\cdots ,D_{f_{n}}\}$ — искомое конечное подпокрытие спектра. Аналогично доказывается компактность множеств $D_{f}$. (Следует заметить, что в отсутствие хаусдорфовости, компактное подмножество не обязано быть замкнутым!)

Определение через замкнутые подмножества

Второй способ ввести топологию Зарисского на спектре кольца — указать все замкнутые подмножества. Замкнутыми множествами спектра являются множества вида:

$V({\mathfrak {a}})=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} \,R:{\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}\}$, где ${\mathfrak {a}}$ — произвольный (не обязательно простой) идеал кольца $R$.

Легко проверяются следующие формулы:

$V({\mathfrak {a}})\cup V({\mathfrak {b}})=V({\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}})$, где ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ — произведение соответствующих идеалов,

$\cap _{\alpha }V({\mathfrak {a_{\alpha }}})=V(\sum _{\alpha }{\mathfrak {a_{\alpha }}})$,

$V((0))=\operatorname {Spec} \,R$,

$V((1))=\varnothing$,

из которых следует, что семейство множеств вида $V({\mathfrak {a}})$ удовлетворяет аксиомам системы всех замкнутых множеств топологического пространства. Открытыми множествами являются дополнения к этим множествам.

При таком описании топологии легко видеть, что если ${\mathfrak {p}}_{1}\subset {\mathfrak {p}}_{2}$ — два простых идеала, то точка ${\mathfrak {p}}_{2}$ лежит в замыкании точки ${\mathfrak {p}}_{1}$. Таким образом, замкнутыми точками в топологии Зарисского являются максимальные идеалы и только они.

Эквивалентность топологий

Для доказательства эквивалентности определений через базу топологии и через замкнутые множества, достаточно проверить формулы:

$V({\mathfrak {a}})^{c}=\cup _{f\in {\mathfrak {a}}}D_{f}$

$D_{f}=V((f))^{c}$, где $V^{c}$ обозначает дополнение множества $V$, а $(f)$ — идеал, порождённый элементом $f$.

Первая из этих формул означает, что подмножество спектра, открытое относительно второй топологии, является открытым и в первой, а вторая — что все множества, составляющие базу первой топологии, являются открытыми и во второй (а следовательно, являются открытыми и все объединения этих множеств).

Структурный пучок и схемы

Структурный пучок на спектре задаётся следующим образом: каждому открытому множеству $D_{f}$ из базы сопоставляется локализация кольца $R$ по мультипликативной системе $\{1,f,f^{2},f^{3},\dots \}$. Элементы этой локализации — формальные дроби вида $p/q$, такие что $q$ является степенью $f$. Соответственно, открытому множеству $\cup _{i}D_{f_{i}}$ сопоставляется локализация по мультипликативной системе, порождённой $f_{i}$.

Одно и то же открытое множество может быть представлено в виде $\cup _{i}D_{f_{i}}$ многими способами, однако можно показать, что локализация кольца не зависит от выбора такого представления, а также проверить, что выполняются все остальные свойства пучка.

В случае, когда $R$ является целостным кольцом с полем частных $K$, структурный пучок можно описать более конкретно. Элемент $f/g\in K$ называется регулярным в точке ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} \,R$, если он может быть представлен в виде дроби $f/g$ знаменатель которой не принадлежит ${\mathfrak {p}}$. Соответственно, открытому множеству $U$ сопоставляется множество элементов $K$, регулярных в каждой точке $U$; можно проверить, что это множество замкнуто относительно сложения и умножения, то есть образует кольцо. Построение отображений ограничения в этом случае также более очевидно: если $U'\subset U$, то элемент поля частных, регулярный в каждой точке $U$, регулярен и в каждой точке $U'$.

Слой получившегося пучка ${\mathcal {O}}$ в точке ${\mathfrak {p}}$ совпадает с локализацией $R_{\mathfrak {p}}$ кольца $R$ по простому идеалу ${\mathfrak {p}}$, это кольцо локально. Следовательно, спектр кольца действительно является локально окольцованным пространством.

Локально окольцованное пространство, которое можно получить таким образом, называется аффинной схемой. Общие схемы получаются «склейкой» нескольких аффинных схем.

Функториальность

Каждому гомоморфизму колец $\varphi :A\to B$ соответствует непрерывное отображение спектров (в противоположном направлении) $\varphi ^{*}:\operatorname {Spec} \,B\to \operatorname {Spec} \,A$. Действительно, прообраз простого идеала ${\mathfrak {p}}\in B$ под действием $\varphi$ является простым идеалом. Для того, чтобы доказать непрерывность этого отображения, достаточно доказать, что прообраз замкнутого множества замкнут. Это следует из равенства

$(\varphi ^{*})^{-1}(V({\mathfrak {a}}))=V(\varphi ({\mathfrak {a}}))$, где ${\mathfrak {a}}$ — произвольный идеал кольца $A$.

Из этого следует, что $\operatorname {Spec}$ является контравариантным функтором из категории коммутативных колец в категорию топологических пространств. Более того, отображение $\varphi$ для каждого ${\mathfrak {p}}\in B$ индуцирует гомоморфизм локальных колец

${\mathcal {O}}_{f^{-1}({\mathfrak {p}})}\to {\mathcal {O}}_{\mathfrak {p}}$

Следовательно, $\operatorname {Spec}$ определяет контравариантный функтор в категорию локально окольцованных пространств. Образ этого функтора — в точности аффинные схемы, поэтому категория коммутативных колец (контравариантно) эквивалентна категории аффинных схем.

Мотивировка из алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии изучаются алгебраические многообразия, то есть подмножества пространства $K^{n}$ (где $K$ — алгебраически замкнутое поле), задаваемые как общие нули некоторого множества многочленов от $n$ переменных. Если $A$ — такое алгебраическое многообразие, рассмотрим коммутативное кольцо полиномиальных функций $A\to K$. Тогда максимальные идеалы кольца $R$ соответствуют точкам многообразия $A$, а простые идеалы — всем неприводимым подмногообразиям $A$ (многообразие называется неприводимым, если его нельзя представить в виде объединения двух меньших многообразий). При этом замыкание подмногообразия состоит из всех его точек и подмногообразий. Более того, определённый выше пучок на спектре фактически совпадает с пучком рациональных функций на алгебраическом многообразии $A$.

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
• Хартсхорн, Алгебраическая геометрия — М.: Мир, 1981.
• Мамфорд, Красная книга о многообразиях и схемах — М.: МЦНМО, 2007.