Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:
![{\displaystyle F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e7215e9a907544384f2daf28145768690d3da6)
в котором коэффициенты
берутся из некоторого кольца
.
Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из
обозначается
.
Пространство
имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом
(коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо
). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.
В
определены операции сложения, умножения, формального дифференцирования и формальной суперпозиции.
Пусть
![{\displaystyle F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},G(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n},H(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685c38362207790006bafa870f01454257818921)
Тогда:
![{\displaystyle H=F+G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=a_{n}+b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e06c0f13c49492343a91c5f40e1bee4b00f06576)
![{\displaystyle H=F\,\cdot \,G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{k+l=n}a_{k}b_{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/984c543c7d5ebe5177c53a56c4db7097d9e27998)
(при этом необходимо, чтобы соблюдалось
)
![{\displaystyle H=F'\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=(n+1)a_{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147642b82aed55363eb123479f71d8f55c75c98c)
Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путём приписывания формальной переменной
какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).
Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.
- Первая теорема Абеля: Пусть ряд
сходится в точке
. Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге
и равномерно по
на любом компактном подмножестве этого круга.
Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при
, он расходится при всех
таких, что
. Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга
(возможно, нулевой или бесконечный), что при
ряд сходится абсолютно (и равномерно по
на компактных подмножествах круга
), а при
— расходится. Это значение
называется радиусом сходимости ряда, а круг
— кругом сходимости.
- Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда (если верхний предел существует и положителен, теорема Адамара о степенном ряде) может быть вычислено по формуле:
![{\displaystyle {1 \over R}={\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|a_{n}|^{1/n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a7307bec146e3c56bc5c6a9c44ef85007fb303a)
(По поводу определения верхнего предела
см. статью «Частичный предел последовательности».)
Пусть
и
— два степенных ряда с радиусами сходимости
и
. Тогда
![{\displaystyle R_{F+G}\geq \min\{R_{F},\,R_{G}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa71a2692b1d846305d783746dd67d4a89532bbc)
![{\displaystyle R_{F\cdot G}\geq \min\{R_{F},R_{G}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d8bfed64b7d2e008a5fe64eb93c4cd3752200f)
![{\displaystyle R_{F'}\,=\,R_{F}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b638a41ff1f2338268d14b21d5dbc249059af3)
Если у ряда
свободный член нулевой, тогда
![{\displaystyle R_{F\circ G}\geq {R_{F} \over {R_{F}+1}}R_{G}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77e935bead64346c85cce56e1a1f0627d3f4e819)
Вопрос о сходимости ряда в точках границы
круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:
- Признак Д’Аламбера: Если при
и
выполнено неравенство
![{\displaystyle \left|{a_{n} \over a_{n+1}}\right|\geq R\left(1+{\alpha \over n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91c0653e838431dbb9c7f45e98b0e7cf1b7c4125)
- тогда степенной ряд
сходится во всех точках окружности
абсолютно и равномерно по
.
- Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда
положительны и последовательность
монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности
, кроме, быть может, точки
.
Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра
является предметом изучения теории аналитических функций.
- См.также
Степенной ряд от n переменных — это формальное алгебраическое выражение вида:
![{\displaystyle F(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\sum \limits _{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}=0}^{+\infty }a_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\dots X_{n}^{k_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1de305b36969c8df733ddeb244a1c85488ce19)
или, в мультииндексных обозначениях,
![{\displaystyle F(X)=\sum \limits _{\alpha }a_{\alpha }X^{\alpha },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5ceb92af60b45be42e0d2ac6284d28824d49e7)
где
— это вектор
,
— мультииндекс
,
— одночлен
.
Пространство степенных рядов от
переменных и коэффициентами из
обозначается
. В нём определены операции сложения, умножения, дифференцирования по каждой переменной и
-местной суперпозиции. Пусть
![{\displaystyle F(X)=\sum \limits _{\alpha }a_{\alpha }X^{\alpha },G(X)=\sum \limits _{\alpha }b_{\alpha }X^{\alpha },H(X)=\sum \limits _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2425a77312b8a078be136d47a08c683ad0496a5)
Тогда:
![{\displaystyle H=F+G\Leftrightarrow \forall {\alpha }\,c_{\alpha }=a_{\alpha }+b_{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10015297f6ae3365b2813067c121a15b4da013a0)
![{\displaystyle H=F\,\cdot \,G\Leftrightarrow \forall {\alpha }\,c_{\alpha }=\sum \limits _{\beta +\gamma =\alpha }a_{\beta }b_{\gamma }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6253210d7bfdc28d9c2d67cd352b0b858222c39d)
![{\displaystyle H={\partial F \over \partial X_{i}}\Leftrightarrow \forall (k_{1},k_{2},\dots ,k_{n})\,c_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}=(k_{i}+1)a_{(k_{1},k_{2},\dots ,k_{i}+1,\dots ,k_{n})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/002fb45def87d2ddaaa700b24cd7f858e98554b5)