Теорема Жордана
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3c/Jordan_curve_theorem.svg/200px-Jordan_curve_theorem.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/Jordan-curve-%281%29.jpg)
Теорема Жордана — классическая теорема топологии, гласящая, что замкнутая плоская кривая без самопересечений делит плоскость на две различные части: «внутреннюю» и «внешнюю».
Теорема Жордана известна контрастом между простотой её формулировки и сложностью доказательства. Такой контраст в первую очередь связан с существованием «диких» кривых, таких как замкнутые кривые Осгуда. В случае кривых специального вида, таких как ломаные, утверждение доказывается относительно просто[1].
Замкнутые кривые, удовлетворяющие условию теоремы Жордана, называются жордановыми.
История
[править | править код]Теорема была сформулирована и доказана Камилем Жорданом в 1887 году.
Некоторые авторы утверждают, что доказательство Жордана не было вполне исчерпывающим, а первое полное доказательство было дано Освальдом Вебленом в 1905 году[2]. Однако Томас Хейлс[англ.] пишет, что доказательство Жордана не содержит ошибок, и единственная возможная претензия по отношению к этому доказательству состоит в том, что Жордан предполагает известным утверждение теоремы в случае ломаных[3].
Формулировка
[править | править код]Любая замкнутая кривая Жордана на плоскости разбивает её на две компоненты и является их общей границей[4].
Замечания
[править | править код]Из двух таких компонент ровно одна является ограниченной. Ограниченная компонента называется внутренней частью кривой , а неограниченная — внешней.
Данные компоненты можно охарактеризовать в терминах порядка точки относительно кривой. А именно, множество точек плоскости, порядок которых относительно кривой равен или , совпадает с её внутренней частью, а множество точек, порядок которых равен , совпадает с внешней часть.
Согласно, теореме Шёнфлиса, внутренняя часть кривой гомеоморфна кругу[4].
О доказательствах
[править | править код]Известно несколько простых доказательств теоремы Жордана.
- Короткое и элементарное доказательство теоремы Жордана предложил Алексей Фёдорович Филиппов в 1950 году, при этом сам Филиппов отмечает, что независимо от него очень схожее доказательство предложил Айзик Исаакович Вольперт[англ.][5].
- Очень короткое доказательство с использованием фундаментальной группы дано Дойлем[6].
Вариации и обобщения
[править | править код]- Теорема Жордана обобщается по размерности:
- Любое -мерное подмногообразие в , гомеоморфное сфере, разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей.
- При это доказано Лебегом, в общем случае — Брауэром, отчего -мерная теорема Жордана иногда называется теоремой Жордана — Брауэра.[4]
- Более того, любое компактное связное -мерное подмногообразие в разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей. Доказательство получается применением двойственности Александера.
- Теорема Шёнфлиса утверждает, что существует гомеоморфизм плоскости в себя, переводящий данную Жорданову кривую в окружность.
- В частности ограниченная компонента в теореме Жордана гомеоморфна единичному диску, а неограниченная компонента гомеоморфна внешности единичного диска.
- Пример дикой сферы показывает, что аналогичное утверждение не верно в старших размерностях.
См. также
[править | править код]- Озёра Вады — патологический пример, показывающий нетривиальность теоремы Жордана.
- Дикий узел
Примечания
[править | править код]- ↑ Болтянский, 1982, Теорема Жордана.
- ↑ Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? — М.: МЦНМО, 2010, — С. 270—271.
- ↑ Hales, Thomas. Jordan's proof of the Jordan Curve theorem (англ.) // Studies in Logic, Grammar and Rhetoric. — 2007. — Vol. 10, no. 23. — P. 45—60.
- ↑ 1 2 3 И. М. Виноградов. Жордана теорема // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . — 1977—1985.
- ↑ А. Ф. Филиппов. Элементарное доказательство теоремы Жордана // УМН. — 1950. — Т. 5, № 5(39). — С. 173—176. Архивировано 24 декабря 2013 года.
- ↑ P. H. Doyle. «Plane separation». Proc. Cambridge Philos. Soc. 64 (1968), p. 291.
Литература
[править | править код]- Аносов Д. В. Отображения окружности, векторные поля и их применения. — М.: изд-во МЦНМО, 2003.
- Филиппов А. Ф. Элементарное доказательство теоремы Жордана. — УМН, 5:5(39) (1950), 173—176.
- Jordan С. Cours d’analyse, t. I, P., 1893.
- Валле-Пуссен. Курс анализа бесконечно малых. — пер. с франц., т. 2, Л.-М., 1933.
- Александров П. С. Комбинаторная топология. — М.-Л., 1947.
- Дьедонне Ж. Основы современного анализа. — пер. с англ., М.: 1964.
- Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.
- Прасолов В. В. Теорема Жордана. — Матем. образование, апрель-сентябрь 1999, 95—101.
![]() | В другом языковом разделе есть более полная статья Théorème de Jordan (фр.). |