Функционал Минковского

Функционал Минковского — функционал, использующий линейную структуру пространства для введения топологии на нём. Назван по имени немецкого математика Германа Минковского.

Определение[править | править код]

Для любого векторного пространства $X$ (вещественного или комплексного) и его подмножества $K$ функционал Минковского $\ \mu _{K}:X\rightarrow [0,\infty )$ определяется как:

\mu _{K}(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK\right\}

.

Предполагается, что $0\in K$ и множество $\{r>0\mid x\in rK\}$ непусто. При дополнительных условиях на $K$ функционал будет обладать свойствами полунормы, а именно:

из выпуклости и симметричности $K$ следует субаддитивность $\mu _{K}$ , то есть $\ \mu _{K}(\alpha x+\beta y)\leq \alpha \mu _{K}(x)+\beta \mu _{K}(y)$ ;
однородность — $\mu _{K}(\alpha x)=|\alpha |\mu _{K}(x)$ для всех $\alpha$ достигается, если $K$ — сбалансированное множество, то есть $\alpha K\subset K$ для всех $|\alpha |\leqslant 1$ .

Свойства[править | править код]

Функционал Минковского можно использовать для задания топологии в пространстве, так как для выпуклых замкнутых множеств $K$ , содержащих 0, он обладает свойствами полунормы. Он также позволяет установить соответствие (одно из проявлений двойственности Минковского) между множествами в $X$ и $X^{*}$ , так как обладает свойствами опорной функции в сопряжённом пространстве. Пусть $X$ — конечномерное евклидово пространство. Для любого множества $K\subseteq X$ сопряжённое множество $K^{*}\subseteq X^{*}$ вводится как множество, опорная функция $s(p,K^{*})$ которого на векторах $p\in X$ совпадает с $p_{K}$ :

\forall p\in X~s(p,K^{*})=\mu _{K}(p)

.

При этом для любого выпуклого замкнутого сбалансированного $K$ выполнено:

\ K^{**}=K

Это определение также можно распространить на бесконечномерные рефлексивные пространства. При этом, однако, возникает некоторая сложность, так как пространство $X^{**}$ содержит элементы, не лежащие в $X$ . Можно доопределить опорную функцию на $K^{*}$ , положив её для таких векторов равной 0. Тогда при естественном вложении $X\hookrightarrow X^{**}$ образ $K$ совпадает с $K^{**}$ (при выпуклости и сбалансированности).