Циркулянт

Циркулянт или циркулянтная матрица — это матрица вида

$C={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\a_{n}&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{1}\\\end{pmatrix}},$

где все $a_{i}$ — комплексные числа. Циркулянт можно также кратко описать как $C_{ij}=a_{j-i+1{\pmod {n}}},\ i,j=1,\ldots ,n$. Таким образом, циркулянт — это матрица, в которой любая следующая строка (столбец), начиная с первой (с первого) получается циклической алфавитной перестановкой элементов предыдущей строки (столбца). Любая циркулянтная матрица по определению является тёплицевой.

Также циркулянтом часто называют определитель такой матрицы.

Свойства

Пусть $A$ и $B$ — циркулянтные матрицы. Тогда выполняются следующие свойства.

• $AB=BA$ и $AB$ — циркулянт.
• Матрицы ${\overline {A}}$ (поэлементно комплексно сопряжённая), $A^{\mathrm {T} }$ (транспонированная) и $A^{*}$ (эрмитово сопряжённая) — циркулянтные.
• Матрица $A^{k}$ циркулянтная при $k\geqslant 0$.
• Если $A$ невырождена, то $A^{-1}$ циркулянтная.
• Матрица $A$ — персимметричная и нормальная.

Определитель

Обозначим $\zeta$ первообразный корень из единицы степени $n$. Тогда имеет место следующая формула для определителя циркулянта $C$:

$\operatorname {det} C=\prod \limits _{k=0}^{n-1}(a_{1}+a_{2}\zeta ^{k}+\ldots +a_{n-1}\zeta ^{k(n-2)}+a_{n}\zeta ^{k(n-1)}).$

Доказательство

Обозначим $f(x)=a_{1}+a_{2}x+\ldots +a_{n}x^{n-1}$ и $\zeta _{k}=\zeta ^{k}$. Умножим циркулянт справа на определитель Вандермонда вида $|\zeta _{j}^{i-1}|_{n\times n}$:

${\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\a_{n}&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{1}\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\\zeta _{1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}&\zeta _{2}^{n-1}&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}f(\zeta _{1})&f(\zeta _{2})&\cdots &f(\zeta _{n})\\\zeta _{1}f(\zeta _{1})&\zeta _{2}f(\zeta _{2})&\cdots &\zeta _{n}f(\zeta _{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}f(\zeta _{1})&\zeta _{2}^{n-1}f(\zeta _{2})&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}f(\zeta _{n})\end{vmatrix}}=$

$=f(\zeta _{1})f(\zeta _{2})\ldots f(\zeta _{n})\cdot {\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\\zeta _{1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}&\zeta _{2}^{n-1}&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}\end{vmatrix}}.$

Далее сокращаем определитель Вандермонда как ненулевой.■

Иными словами, собственные числа циркулянта равны дискретному преобразованию Фурье вектора $\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)$.

Примеры

Для $n=2$ определитель циркулянта равен:

$\operatorname {det} {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}\\a_{2}&a_{1}\end{pmatrix}}=(a_{1}-a_{2})(a_{1}+a_{2})=a_{1}^{2}-a_{2}^{2}.$

Для $n=3,\zeta ^{3}=1,\zeta \neq 1$:

$\operatorname {det} {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\a_{3}&a_{1}&a_{2}\\a_{2}&a_{3}&a_{1}\end{pmatrix}}=(a_{1}+a_{2}+a_{3})(a_{1}+a_{2}\zeta +a_{3}\zeta ^{2})(a_{1}+a_{2}\zeta ^{2}+a_{3}\zeta )=a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}-3a_{1}a_{2}a_{3}.$

Связанные определения

Антициркулянт

Антициркулянт — это матрица аналогичного вида:

${\begin{pmatrix}a_{1}&-a_{n}&-a_{n-1}&\cdots &-a_{2}\\a_{2}&a_{1}&-a_{n}&\cdots &-a_{3}\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&\cdots &-a_{4}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n}&a_{n-1}&a_{2}&\cdots &a_{1}\\\end{pmatrix}}.$

Косоциркулянт

Матрица вида

$\left({\begin{array}{ccccc}a_{1}&\varphi a_{n}&\varphi a_{n-1}&\cdots &\varphi a_{2}\\a_{2}&a_{1}&\varphi a_{n}&\cdots &\varphi a_{3}\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&\cdots &\varphi a_{4}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}\end{array}}\right)$

называется $\varphi$-косоциркулянтом порядка $n$ при $\varphi \neq 0$.

Очевидно, что циркулянт является $(1)$-косоциркулянтом, а антициркулянт — $(-1)$-косоциркулянтом.

См. также

• Ганкелева матрица

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Circulant Matrix (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• Мальцев, А. И. Основы линейной алгебры (рус.). — М.: Наука, 1975. — 400 с.
• Davis, P. J.. Circulant Matrices (англ.). — John Wiley & Sons, 1979. — ISBN 0-471-05771-1.
• Aldrovandi, R.. Special matrices of mathematical physics: stochastic, circulant and Bell matrices (англ.). — World Scientific, 2001. — ISBN 9810247087.
• Bini, D., Pan, V. Y. Polynomial and matrix computations (англ.). — Birkhäuser Boston, 1994. — ISBN 0-8176-3786-9.
• Воеводин, В. В., Тыртышников, Е. Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами (рус.). — М.: Наука, 1987. — 320 с.