Энтропия Реньи

В теории информации энтропия Реньи — обобщение энтропии Шеннона — является семейством функционалов, используемых в качестве меры количественного разнообразия, неопределённости или случайности некоторой системы. Названа в честь Альфреда Реньи.

Если некоторая система имеет дискретное множество доступных состояний $X=\{x_{1},...,x_{n}\}$, которому соответствует распределение вероятностей $p_{i}$ для $i=1,...,n$ (то есть $p_{i}$ — вероятности пребывания системы в состояниях $x_{i}$), тогда энтропия Реньи с параметром $\alpha$ (при $\alpha \geq 0$ и $\alpha \neq 1$) системы определяется как

$H_{\alpha }(X)={\frac {1}{1-\alpha }}\log \sum _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha }={\frac {1}{1-\alpha }}\log {\Big \langle }p^{\alpha -1}{\Big \rangle }$,

где угловыми скобками обозначено математическое ожидание по распределению $p_{i}$ ($p$ — вероятность пребывания системы в некотором состоянии как случайная величина), логарифм берётся по основанию 2 (для счёта в битах) либо по другому удобному основанию (оно должно быть больше 1). Основание логарифма определяет единицу измерения энтропии. Так, в математической статистике обычно используется натуральный логарифм.

Если все вероятности $p_{i}=1/n$, тогда при любом $\alpha$ энтропия Реньи $H_{\alpha }(X)=\log n$. В остальных случаях энтропия Реньи убывает как функция $\alpha$. Притом более высокие значения $\alpha$ (уходящие в бесконечность) дают энтропии Реньи значения, которые в большей степени определены лишь самыми высокими вероятностями событий (то есть вклад в энтропию маловероятных состояний уменьшается). Промежуточный случай $\alpha =1$ в пределе даёт энтропию Шеннона, которая обладает особыми свойствами. Более низкие значения $\alpha$ (стремящиеся к нулю), дают значение энтропии Реньи, которое взвешивает возможные события более равномерно, менее зависимо от их вероятностей. А при $\alpha =0$ получаем максимально возможную $\alpha$-энтропию, равную $\log n$ независимо от распределения (лишь бы $p_{i}\neq 0$).

Смысл параметра $\alpha$ можно описать, говоря неформальным языком, как восприимчивость функционала к отклонению состояния системы от равновесного: чем больше $\alpha$, тем быстрее уменьшается энтропия при отклонении системы от равновесного состояния. Смысл ограничения $\alpha \geq 0$ заключается в том, чтобы обеспечивалось увеличение энтропии при приближении системы к равновесному (более вероятному) состоянию. Это требование является естественным для понятия энтропия. Следует заметить, что для энтропии Цаллиса, которая эквивалентна энтропии Реньи с точностью до не зависящего от $X$ монотонного преобразования, соответствующее ограничение часто опускают, при этом для отрицательных значений параметра вместо максимизации энтропии используют её минимизацию. Между тем существует корректное с точки зрения поведения функционала обобщение энтропий Реньи и Цаллиса на случай произвольного действительного значения параметра.

Энтропия Реньи играет важную роль в экологии и статистике, определяя так называемые индексы разнообразия. Энтропия Реньи также важна в квантовой информации, она может быть использована в качестве меры сложности. В цепочке Гейзенберга $XY$ энтропия Реньи была рассчитана в терминах модулярных функций, зависящих от $\alpha$. Они также приводят к спектру показателей фрактальной размерности.

H_α для некоторых конкретных значений α

Некоторые частные случаи

• При $\alpha =0$ энтропия Реньи не зависит от вероятностей состояний (вырожденный случай) и равна логарифму числа состояний (логарифму мощности множества $X$):

$H_{0}(X)=\log n=\log |X|$.

Данную энтропию иногда называют энтропией Хартли. Она используется, например, в формулировке принципа Больцмана.

• В пределе при $\alpha \to 1$, можно показать, используя правило Лопиталя, что $H_{\alpha }$ сходится к энтропии Шеннона. Таким образом, семейство энтропий Реньи может быть доопределено функционалом

$H_{1}(X){\stackrel {\mathrm {df} }{\;=\;}}\lim _{\alpha \to 1}H_{\alpha }(X)=H(X)=-\sum _{i=1}^{n}p_{i}\log p_{i}$.

• Квадратичная энтропия, иногда называемая энтропией столкновений, — это энтропия Реньи с параметром $\alpha =2$:

$H_{2}(X)=-\log \sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}=-\log \operatorname {Prob} \{x=y\}$,

где $x$ и $y$ — независимые случайные величины, одинаково распределённые на множестве $X$ с вероятностями $p_{i}$ ($i=1,...,n$). Квадратичная энтропия используется в физике, обработке сигналов, экономике.

• Существует предел

$H_{\infty }(X){\stackrel {\mathrm {df} }{\;=\;}}\lim _{\alpha \to \infty }H_{\alpha }(X)=-\log \sup _{i}p_{i}$,

который называется min-энтропией, потому что это наименьшее значение $H_{\alpha }$. Данная энтропия также является вырожденным случаем, поскольку её значение определяется только наиболее вероятным состоянием.

Неравенства для различных значений α

Два последних случая связаны соотношением $H_{\infty }<H_{2}<2H_{\infty }$. С другой стороны, энтропия Шеннона $H_{1}(X)$ может быть сколь угодно высокой для распределения X с фиксированной min-энтропией.

$H_{2}<2H_{\infty }$ потому что $\log \sum \limits _{i=1}^{n}{p_{i}^{2}}\geq \log \sup _{i}p_{i}^{2}=2\log \sup _{i}p_{i}$.

$H_{\infty }<H_{2}$, потому что $\log \sum \limits _{i=1}^{n}{p_{i}^{2}}<\log \sup _{i}p_{i}\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{p_{i}}}\right)=\log \sup _{i}p_{i}$.

$H_{1}\geq H_{2}$ в соответствии с неравенством Йенсена $\sum \limits _{i=1}^{n}{p_{i}\log p_{i}}\leq \log \sum \limits _{i=1}^{n}{p_{i}^{2}}$.

Расхождения (дивергенции) Реньи

Кроме семейства энтропий, Реньи также определил спектр мер расхождений (дивергенций), обобщающих расхождение Кульбака—Лейблера. Формулы данного раздела записаны в общем виде — через логарифм по произвольному основанию. Поэтому нужно понимать, что каждая приведённая формула представляет собой семейство эквивалентных функционалов, определённых с точностью до постоянного (положительного) множителя.

Расхождение Реньи с параметром $\alpha$, где $\alpha >0$ и $\alpha \neq 1$, распределения $Q$ относительно распределения $P$ (или «расстояние от $P$ до $Q$») определяется как

$D_{\alpha }(P\|Q)={\frac {1}{\alpha -1}}\log \sum _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha }q_{i}^{1-\alpha }={\frac {1}{\alpha -1}}\log {\Big \langle }(p/q)^{\alpha -1}::P{\Big \rangle }$

или (формально, без учёта нормировки вероятностей)

$D_{\alpha }(P\|Q)=-H_{\alpha }{\Bigg (}{\frac {p}{q^{1-1/\alpha }}}{\Bigg )}$,

$H_{\alpha }(P)=-\left.D_{\alpha }(P\|Q)\right|_{q=1}$.

Как расхождение Кульбака—Лейблера, расхождение Реньи является неотрицательным для $\alpha >0$.

Некоторые частные случаи

• При $\alpha =0$ дивергенция Реньи не определена, однако семейство дивергенций можно доопределить элементом

$D_{0}(P\|Q){\stackrel {\mathrm {df} }{\;=\;}}\lim _{\alpha \to 0}D_{\alpha }(P\|Q)=-\log \sum _{i=1}^{n}q_{i}\operatorname {sgn} p_{i}$ : минус логарифм от суммы вероятностей $q$, таких что соответствующие $p>0$.

• $D_{1/2}(P\|Q)=-2\log \sum _{i=1}^{n}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}$ : расстояние Бхаттачария (минус логарифм от коэффициента Бхаттачария, несущественный множитель $2$ игнорируем). Данное расхождение с точностью до монотонного преобразования эквивалентно расстоянию Хеллингера и сферическому расстоянию Бхаттачария—Рао, однако в отличие от них не удовлетворяет неравенству треугольника, а потому не является метрикой в пространстве распределений.
• $D_{1}(P\|Q){\stackrel {\mathrm {df} }{\;=\;}}\lim _{\alpha \to 1}D_{\alpha }(P\|Q)=D_{KL}(P\|Q)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\log {\frac {p_{i}}{q_{i}}}={\Big \langle }\log {\frac {p}{q}}::P{\Big \rangle }$ : расхождение Кульбака—Лейблера (равно математическому ожиданию по распределению $P$ логарифма отношения вероятностей $p/q$).
• $D_{2}(P\|Q)=\log \sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}^{2}}{q_{i}}}=\log {\Big \langle }{\frac {p}{q}}::P{\Big \rangle }$ : логарифм от математического ожидания по распределению $P$ отношения вероятностей $p/q$. Данное расхождение с точностью до монотонного преобразования эквивалентно расстоянию хи-квадрат Пирсона $D_{\chi ^{2}}(P\|Q)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(p_{i}-q_{i})^{2}}{q_{i}}}$.
• $D_{\infty }(P\|Q){\stackrel {\mathrm {df} }{\;=\;}}\lim _{\alpha \to \infty }D_{\alpha }(P\|Q)=\log \sup _{i}{\frac {p_{i}}{q_{i}}}$ : логарифм от максимального отношения вероятностей $p/q$.

Финансовая (игровая) интерпретация

Рассмотрим игру (лотерею) по угадыванию некой случайной величины. Официальные выигрышные ставки известны и опубликованы в виде распределения вероятностей $m$. Между тем истинное распределение вероятностей может не совпадать с $m$. Знание истинного распределения позволяет игроку заработать. Ожидаемый рост капитала экспоненциальный. Считая верным распределение $b$, игрок может подсчитать (свое) математическое ожидание экспоненциальной скорости роста капитала (за раунд игры) [Soklakov2020]:

ОжидаемыйРост $={\frac {1}{R}}\,D_{1}(b\|m)+{\frac {R-1}{R}}\,D_{1/R}(b\|m)\,,$

где $R$ обозначает относительную меру неприятия риска по Эрроу-Пратту.

Обозначив $p$ истинное распределение (не обязательно совпадающее с мнением игрока $b$) реально полученный рост можно подсчитать в пределе многократной игры [Soklakov2020]:

ФактическийРост $={\frac {1}{R}}\,{\Big (}D_{1}(p\|m)-D_{1}(p\|b){\Big )}+{\frac {R-1}{R}}\,D_{1/R}(b\|m)\,.$

Почему случай α = 1 особенный

Значение $\alpha =1$, которое соответствует энтропии Шеннона и расхождению Кульбака—Лейблера, является особенным, потому что только в этом случае можно выделить переменные A и X из совместного распределения вероятностей, такие что справедливо

$H(A,X)=H(A)+\mathbb {E} _{p(a)}\{H(X|a)\}$

для энтропии, и

$D_{\mathrm {KL} }(p(x|a)p(a)||m(x,a))=\mathbb {E} _{p(a)}\{D_{\mathrm {KL} }(p(x|a)||m(x|a))\}+D_{\mathrm {KL} }(p(a)||m(a))$ —

для дивергенции.

Последнее означает, что если мы будем искать распределение $p(x,a)$, которое сводит к минимуму расхождения некоторых основополагающих мер $m(x,a)$, и получим новую информацию, которая влияет только на распределение $a$, то распределение $p(x|a)$ не будет зависеть от изменений $m(x|a)$.

В общем случае расхождения Реньи с произвольными значениями $\alpha$ удовлетворяют условиям неотрицательности, непрерывности и инвариантности относительно преобразования координат случайных величин. Важным свойством любых энтропии и дивергенции Реньи является аддитивность: когда $A$ и $X$ независимы, из $p(A,X)=p(A)p(X)$ следует

$H_{\alpha }(A,X)=H_{\alpha }(A)+H_{\alpha }(X)$

и

$D_{\alpha }(P(A)P(X)\|Q(A)Q(X))=D_{\alpha }(P(A)\|Q(A))+D_{\alpha }(P(X)\|Q(X))$.

Наиболее сильные свойства случая $\alpha =1$, которые предполагают определение условной информации и взаимной информации из теории связи, могут быть очень важны в других приложениях или совершенно неважны, в зависимости от требований этих приложений.

Перекрёстная энтропия Реньи

Перекрёстная энтропия $H_{\alpha }(P,Q)$ от двух распределений с вероятностями $p_{i}$ и $q_{i}$ ($i=1,...,n$) в общем случае может определяться по-разному (в зависимости от применения), но должна удовлетворять условию $H_{\alpha }(P,P)=H_{\alpha }(P)$. Один из вариантов определения (аналогичным свойством обладает перекрёстная энтропия Шеннона):

$H_{\alpha }(P,Q)=H_{\alpha }(P)+D_{\alpha }(P,Q)$.

Другое определение, предложенное А. Реньи, может быть получено из следующих соображений. Определим эффективное количество состояний системы как среднее геометрическое взвешенное от величин $1/q_{i}$ с весами $p_{i}$:

${\overline {n}}=\prod _{i=1}^{n}(1/q_{i})^{p_{i}}$.

Отсюда следует выражение для перекрёстной энтропии Шеннона

$H(P,Q)=\log {\overline {n}}=-\sum _{i=1}^{n}p_{i}\log q_{i}$.

Рассуждая аналогичным образом, определим эффективное количество состояний системы как среднее степенное взвешенное от величин $1/q_{i}$ с весами $p_{i}$ и параметром $1-\alpha$:

${\overline {n}}=\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}(1/q_{i})^{1-\alpha }\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}=\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}q_{i}^{\alpha -1}\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}$.

Таким образом, перекрёстная энтропия Реньи имеет вид

$H_{\alpha }(P,Q)=\log {\overline {n}}={\frac {1}{1-\alpha }}\log \sum _{i=1}^{n}p_{i}q_{i}^{\alpha -1}={\frac {1}{1-\alpha }}\log {\Big \langle }q^{\alpha -1}::P{\Big \rangle }$.

• Нетрудно видеть, что в случае, если распределения вероятностей $p$ и $q$ совпадают, перекрёстная энтропия Реньи совпадает с энтропией Реньи.
• Также при $\alpha \to 1$ перекрёстная энтропия Реньи сходится к перекрёстной энтропии Шеннона.
• Свойство $H(P,Q)=H(P)+D_{KL}(P\|Q)\geq H(P)$, справедливое для перекрёстной энтропии Шеннона, в общем случае не имеет места. Перекрёстная энтропия Реньи может быть как больше, так и меньше энтропии Реньи.

Непрерывный случай

Для формального обобщения энтропии Шеннона на случай непрерывного распределения служит понятие дифференциальная энтропия. Совершенно аналогично определяется дифференциальная энтропия Реньи:

$H_{\alpha }(f)={\frac {1}{1-\alpha }}\log \int \limits _{X}^{}{f^{\alpha }(x)}dx$.

Расхождение (дивергенция) Реньи в непрерывном случае также является обобщением расхождения Кульбака—Лейблера и имеет вид

$D_{\alpha }(g,f)={\frac {1}{\alpha -1}}\log \int \limits _{X}^{}{g^{\alpha }(x)f^{1-\alpha }(x)}dx$.

Определение перекрёстной энтропии, предложенное А. Реньи, в непрерывном случае имеет вид

$H_{\alpha }(g,f)={\frac {1}{1-\alpha }}\log \int \limits _{X}^{}{g(x)f^{\alpha -1}(x)}dx$.

В приведённых формулах $f(x)$ и $g(x)$ — некоторые функции плотности распределения вероятностей, определённые на интервале $X\subseteq R$, и полагается $\alpha >0$, $\alpha \neq 1$. При $\alpha =1$ рассмотренные функционалы непрерывно доопределяются соответственно энтропией Шеннона $H(f)$, дивергенцией Кульбака—Лейблера $D(g,f)$ и перекрёстной энтропией Шеннона $H(g,f)$.

Обобщение на случай произвольного параметра

Для произвольного $\alpha \subseteq R$, $\alpha \neq 0$, $\alpha \neq 1$, энтропия и дивергенция Реньи определяются следующим образом:

$H_{\alpha }(f)={\frac {1}{\alpha (1-\alpha )}}\log \int \limits _{X}^{}{f^{\alpha }(x)}dx$,

$D_{\alpha }(g,f)={\frac {1}{\alpha (\alpha -1)}}\log \int \limits _{X}^{}{g^{\alpha }(x)f^{1-\alpha }(x)}dx$.

При $\alpha =1$ рассмотренные функционалы непрерывно доопределяются соответственно энтропией Шеннона $H(f)$ и дивергенцией Кульбака—Лейблера $D(g,f)$. При $\alpha =0$ дивергенция непрерывно доопределяется обратной дивергенцией Кульбака—Лейблера $D(f,g)$, а энтропия с точностью до несущественного слагаемого и несущественного сомножителя эквивалентна энтропии Берга $\int \limits _{X}^{}{\log f(x)}dx$. Действительно, если функционал $H_{\alpha }(f)$ уменьшить на постоянную величину ${\frac {1}{\alpha (1-\alpha )}}\log \int \limits _{X}^{}{}dx$ и раскрыть неопределённость при $\alpha \to 0$ по правилу Лопиталя, в пределе получим выражение для энтропии Берга, делённое на $\int \limits _{X}^{}{}dx$. Однако следует заметить, что энтропия Берга, как и вообще энтропия Реньи при $\alpha \leq 0$, не существует для распределений, заданных на неограниченном промежутке $X$. Для дискретных аналогов приведённых здесь формул подобного ограничения нет.

Литература

• A. Rényi (1961). "On measures of information and entropy" (PDF). Proceedings of the 4th Berkeley Symposium on Mathematics, Statistics and Probability 1960. pp. 547—561.
• A. O. Hero, O.Michael and J. Gorman. Alpha-divergences for Classification, Indexing and Retrieval (англ.) : journal. — 2002.
• F. Nielsen and S. Boltz. The Burbea-Rao and Bhattacharyya centroids (неопр.). — 2010.
• O.A. Rosso EEG analysis using wavelet-based information tools. Journal of Neuroscience Methods 153 (2006) 163–182
• Rényi entropy as a measure of entanglement in quantum spin chain: F. Franchini, A. R. Its, V. E. Korepin, Journal of Physics A: Math. Theor. 41 (2008) 025302 [1]
• F. Liese and I. Vajda. Convex Statistical Distances // Teubner-Texte zur Mathematik. – Leipzig, 1987, band 95.
• Soklakov, A. N. (2020). "Economics of Disagreement—Financial Intuition for the Rényi Divergence". Entropy. 22 (8): 860. arXiv:1811.08308. doi:10.3390/e22080860.{{cite journal}}: Википедия:Обслуживание CS1 (не помеченный открытым DOI) (ссылка)