Неравенство Йенсена

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Неравенство Йенсена обобщает тот факт, что секущая графика выпуклой функции находится над графиком.

Нера́венство Йе́нсена — неравенство, введённое Иоганом Йенсеном и тесно связанное с определением выпуклой функции.

Формулировки[править | править вики-текст]

Конечный случай[править | править вики-текст]

Пусть функция является выпуклой на некотором промежутке и числа таковы, что и . Тогда каковы бы ни были числа из промежутка , выполняется неравенство:

или

.

Замечания:

  • Если функция вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.
  • Сам Иоган Йенсен исходил из более частного соотношения, а именно
, оно отвечает случаю .

Геометрическая интерпретация[править | править вики-текст]

Точка является соответствующей выпуклой комбинацией точек . Из определения выпуклой функции очевидно, что выпуклая оболочка этого множества точек будет совпадать с самим множеством. Значит, из свойств выпуклой комбинации следует, что образованная точка будет лежать внутри многоугольника, построенного на перечисленных точках в указанном порядке (если соединить последнюю с первой).

Геометрически очевидно, что в этом случае точка будет лежать выше одной из прямых вида . Но у выпуклой функции по определению такая прямая лежит выше графика функции. Значит, и точка лежит выше этого графика, что и означает, что .

Интегральная формулировка[править | править вики-текст]

Для выпуклой функции и интегрируемой функции выполняется неравенство

Вероятностная формулировка[править | править вики-текст]

Пусть  — вероятностное пространство, и  — определённая на нём случайная величина. Пусть также  — выпуклая (вниз) борелевская функция. Тогда если , то

,

где означает математическое ожидание.

Неравенство Йенсена для условного математического ожидания[править | править вики-текст]

Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше,  — под-σ-алгебра событий. Тогда

,

где обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры .

Частные случаи[править | править вики-текст]

Неравенство Гёльдера[править | править вики-текст]

  • Пусть , где (выпуклая функция). Имеем
,      и

Обозначим , где - произвольные положительные числа, тогда неравенство запишется в виде

.

Заменяя здесь на и на , получаем известное неравенство Гёльдера:

.

Неравенство Коши[править | править вики-текст]

  • Пусть (вогнутая функция). Имеем
, или , потенцируя получаем .

В частности при получаем неравенство Коши (среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического)

.

Неравенство между средним гармоническим и средним геометрическим[править | править вики-текст]

  • Пусть (выпуклая функция). Имеем
. Положив и потенцируя, получаем
(среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического)

Неравенство между средним гармоническим и средним арифметическим[править | править вики-текст]

  • Пусть (выпуклая функция). Имеем

В частности при получаем, что среднее гармоническое не превосходит среднего арифметического:

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Зорич В. А. Гл. V. Дифференциальное исчисление // Математический анализ. Часть I. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — С. 289—290. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-892-5.
  • Фихтенгольц Г. М. Гл. IV. Исследование функций с помощью производных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 1. — С. 336—337. — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0156-0.