Неравенство Йенсена

Неравенство Йенсена обобщает утверждение, что хорда к графику выпуклой функции находится над графиком.

Нера́венство Йе́нсена — неравенство, связанное с понятием выпуклой функции.

Формулировки

Сумматорный вариант неравенства

Пусть функция $f$ является выпуклой на некотором интервале $I$ и числа $\ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}$ (веса) таковы, что

$\ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}>0$ и $\ q_{1}+q_{2}+\ldots +q_{n}=1$.

Тогда каковы бы ни были числа $\ x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ из $I$, выполняется неравенство, известное под названием неравенства Йенсена:

$f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n})\leq q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n}),$

или

$f\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}q_{i}f(x_{i})$.

Замечания:

• Если функция $\ f(x)$ вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.
• Сам Иоган Йенсен исходил из более частного условия, отвечающего случаю $q_{1}=q_{2}={\frac {1}{2}}$:

$f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}$.

Для непрерывных функций оно эквивалентно выпуклости.

Доказательство

Доказательство проводится методом математической индукции.

• Для $\ n=2$ неравенство следует из определения выпуклой функции как функции, надграфик которой является выпуклым множеством, и, следовательно, хорда, стягивающая точки $(x_{1},f(x_{1}))$ и $(x_{2},f(x_{2}))$, лежит выше графика. Неравенство Йенсена означает это соотношение для точек графика и хорды, абсциссы которых равны $q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}$.
• Допустим, что неравенство верно для какого-либо натурального числа $\ n$, докажем, что оно верно и для $\ n+1$, то есть

$f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n}+q_{n+1}x_{n+1})\leq q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})+q_{n+1}f(x_{n+1})$.

С этой целью, заменим слева сумму двух последних слагаемых $\ q_{n}f(x_{n})+q_{n+1}f(x_{n+1})$ одним слагаемым

$(q_{n}+q_{n+1})\left({\frac {q_{n}}{q_{n}+q_{n+1}}}f(x_{n})+{\frac {q_{n+1}}{q_{n}+q_{n+1}}}f(x_{n+1})\right)$;

это даст возможность воспользоваться неравенством для $\ n$ и установить, что выражение выше не превосходит суммы

$q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +(q_{n}+q_{n+1})f\left({\frac {q_{n}}{q_{n}+q_{n+1}}}x_{n}+{\frac {q_{n+1}}{q_{n}+q_{n+1}}}x_{n+1}\right)$.

Остаётся лишь применить к значению функции в последнем слагаемом неравенство для $\ n=2$. Таким образом по методу математической индукции неравенство Йенсена полностью доказано.

Сумматорное неравенство Йенсена было известно еще Гёльдеру.

Геометрическая интерпретация

Точка $(\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}};\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})})$ является выпуклой комбинацией $n$ точек $(x_{1},f(x_{1})),(x_{2},f(x_{2})),\dots ,(x_{n},f(x_{n}))$ плоскости, лежащих на графике функции $f$. Из определения выпуклой функции следует, что выпуклая оболочка этого множества точек лежит над графиком функции $f$, а это и означает, что $f(\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}})\leq \sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})}$.

Интегральная формулировка

Пусть $\varphi$ — выпуклая функция, $\mu$ — вероятностная мера, а функции $f$ и $\varphi (f)$ интегрируемы. Тогда

$\varphi \left(\int f\,d\mu \right)\leqslant \int \varphi (f)\,d\mu .$

Для случая меры Лебега это неравенство имеет вид

$\varphi \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\varphi (f(x))\,dx.$

Вероятностная формулировка

Пусть $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ — вероятностное пространство, и $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ — определённая на нём случайная величина. Пусть также $\varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — выпуклая (вниз) борелевская функция. Тогда если $X,\varphi (X)\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$, то

$\varphi (\mathbb {E} [X])\leqslant \mathbb {E} [\varphi (X)]$,

где $\mathbb {E} [\cdot ]$ означает математическое ожидание.

Неравенство Йенсена для условного математического ожидания

Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше, ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ — под-σ-алгебра событий. Тогда

$\varphi (\mathbb {E} [X|{\mathcal {G}}])\leqslant \mathbb {E} [\varphi (X)|{\mathcal {G}}]$,

где $\mathbb {E} [\cdot |{\mathcal {G}}]$ обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры ${\mathcal {G}}$.

Частные случаи

Неравенство Гёльдера

• Пусть $a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{n}$ — положительные числа, $p,q>1$, причём ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$. Тогда

$\sum _{i=1}^{n}{a_{i}b_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}{a_{i}}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{i=1}^{n}{b_{i}}^{q}\right)^{\frac {1}{q}}$.

Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

• Пусть $\ f(x)=\ln x$ (вогнутая функция). Имеем:

$\sum _{i=1}^{n}{q_{i}\ln x_{i}}\leq \ln \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)$, или $\ln \prod _{i=1}^{n}{x_{i}^{q_{i}}}\leq \ln \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}$. Потенцируя, получаем неравенство $\prod _{i=1}^{n}{x_{i}^{q_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}$.

В частности, при $q_{i}={\frac {1}{n}}$ получаем неравенство Коши (среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического)

${\sqrt[{n}]{{\phantom {1}}\!x_{1}\ldots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}$.

Неравенство между средним гармоническим и средним геометрическим

• Пусть $\ f(x)=x\ln x$ (выпуклая функция). Имеем:

$\left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)\ln \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}\ln x_{i}}$. Положив $q_{i}={\frac {\frac {1}{x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}$ и потенцируя, получаем:

${\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{1/n}$ (среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического)

Неравенство между средним гармоническим и средним арифметическим

• Пусть $\ f(x)={\frac {1}{x}}$ (выпуклая функция). Имеем: ${\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}}{x_{i}}}.$

В частности при $q_{i}={\frac {1}{n}}$ получаем, что среднее гармоническое не превосходит среднего арифметического:

${\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}.$

См. также

• Неравенство Юнга
• Неравенство Минковского
• Неравенство Гюйгенса
• Неравенство Гёльдера

Литература

• Зорич В. А. Гл. V. Дифференциальное исчисление // Математический анализ. Часть I. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — С. 289—290. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-892-5.
• Фихтенгольц Г. М. Гл. IV. Исследование функций с помощью производных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 1. — С. 336—337. — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0156-0.