Счётное множество

В теории множеств счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество $X$ является счётным, если существует биекция $X\leftrightarrow \mathbb {N}$ , где ${\mathbb {N} }$ обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Счётное множество является «наименьшим» бесконечным множеством, то есть в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество. Мощность множества всех натуральных чисел обозначается символом $\aleph _{0}$ (произносится: "алеф-нуль").

Свойства

1. Любое подмножество счётного множества не более чем счётно (т.е. конечно или счётно).
2. Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.
3. Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно.
4. Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.
5. Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.

Связанные понятия

Несчётное множество — такое бесконечное множество, которое не является счётным. Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.

Примеры

Счётные множества

• Натуральные числа
• Целые числа
• Рациональные числа
• Алгебраические числа
• Простые числа
• Целочисленные координаты декартовой плоскости

Несчётные множества

• Вещественные числа
• Комплексные числа
• Числа Кэли

См. также

• Мощность множества