АТС-теорема

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «АТС теорема»)
Перейти к: навигация, поиск

АТС теорема — это теорема об аппроксимации тригонометрической суммы более короткой.

В некоторых областях математики и математической физики исследуются суммы вида

  
S = \sum_{a< k\le b} \varphi(k)e^{2\pi i f(k)}  ~~~   (1).

Здесь \varphi(x) и f(x) — вещественные функции вещественного аргумента, i^2= -1.

Такие суммы появляются, например, в теории чисел при анализе дзета-функции Римана, при решении задач, связанных с распределением целых точек в различных областях на плоскости и в пространстве, при изучении рядов Фурье, при решении таких дифференциальных уравнений как волновое уравнение, уравнение теплопроводности и т. д.

Вводные замечания[править | править вики-текст]

Назовём длиной суммы S число b-a (для целых a и b это просто число слагаемых в S).

Будем использовать следующие обозначения:

  • При B > 0, B \to +\infty или B \to 0 запись 1 \ll \frac{A}{B} \ll 1 означает, что существуют константы C_1 > 0 и C_2 > 0,, такие что
    C_1 \leq\frac{|A|}{B} \leq C_2.
  • Для вещественного \alpha запись ||\alpha|| значит, что
    ||\alpha|| = \min(\{\alpha\},1- \{\alpha\}),
    где \{\alpha\} — дробная часть \alpha.

Сформулируем основную теорему о замене тригонометрической (иногда её называют также экспоненциальной) суммы более короткой.

Теорема АТС[править | править вики-текст]

Пусть вещественные функции f(x) и \varphi(x) удовлетворяют на отрезке [a,b] следующим условиям:

  1. f''(x) и \varphi''(x) являются непрерывными;
  2. существуют числа H, U и V такие, что
    H > 0,~~ 1 \ll U \ll V,~~ 0 < b-a \leq V
    
\begin{array}{rc}
\frac{1}{U} \ll f''(x) \ll \frac{1}{U}  \ ,&  \varphi(x) \ll H ,\\

f'''(x) \ll \frac{1}{UV}  \ ,&  \varphi'(x) \ll \frac{H}{V} ,\\

f''''(x) \ll \frac{1}{UV^2}  \ ,&  \varphi''(x) \ll \frac{H}{V^2} . \\
\end{array}

Тогда, определяя числа x_{\mu} из уравнения

 f'(x_{\mu}) = \mu,

имеем


\sum_{a< \mu\le b} \varphi(\mu)e^{2\pi i f(\mu)} = \sum_{f'(a)\le\mu\le
f'(b)}C(\mu)Z(\mu) + R ,

где


R = O
\left(\frac{HU}{b-a} + HT_a + HT_b +
H\log\left(f'(b)-f'(a)+2\right)\right);

T_{j} = \left\{
\begin{array}{rc}
0  \ ,&  \ {\textit if} \ \ f'(j) \ {\textit is \ an \ integer}  ;\\
\min\left(\frac{1}{||f'(j)||} , \sqrt{U}\right)  \ ,&
\ {\textit if} \ \ ||f'(j)|| \ne 0; \\
\end{array}
\right.
j = a,b;

C(\mu) = \left\{
\begin{array}{rc}
1  \ \ ,& \ \ {\textit if} \ \  f'(a) < \mu < f'(b) ;\\
\frac{1}{2} \ \ ,& \ \ {\textit if} \ \ 
\mu = f'(a) \ \ {\textit or} \ \ \mu = f'(b) ;\\
\end{array}
\right.

Z(\mu) = \frac{1+i}{\sqrt
2}\frac{\varphi(x_{\mu})}{\sqrt{f''(x_{\mu})}}
e^{2\pi i(f(x_{\mu})- \mu x_{\mu})} \ .

Лемма Ван дер Корпута[править | править вики-текст]

Самым простым вариантом сформулированной теоремы является утверждение, называемое в литературе леммой Ван дер Корпута.

Пусть f(x) — вещественная дифференцируемая функция на интервале a< x \le b , кроме того, внутри этого интервала её производная f'(x) является монотонной и знакопостоянной функцией, и при \delta = const, 0 < \delta < 1 удовлетворяет неравенству

|f'(x)| \leq \delta .

Тогда


\sum_{a<k\le b} e^{2\pi i f(k)} = \int_a^be^{2\pi i f(x)}dx +
\theta\left(3 + \frac{2\delta}{1-\delta}\right),

где |\theta| \le 1.

Если параметры a и b являются целыми числами, то последнее выражение можно заменить таким:


\sum_{a<k\le b} e^{2\pi i f(k)} = \int_a^be^{2\pi i f(x)}dx +
\frac12e^{2\pi i f(b)} - \frac12e^{2\pi i f(a)} +
\theta\frac{2\delta}{1-\delta},

где |\theta| \le 1.

Применение[править | править вики-текст]

О применениях АТС в задачах физики см.[1],[2], см. также [3],[4].

История[править | править вики-текст]

Проблема приближения тригонометрического ряда какой-либо подходящей функцией рассматривалась ещё Эйлером и Пуассоном.

При определённых условиях на \varphi(x) и f(x) сумму S можно заменить с хорошей точностью другой суммой S_1,


S_1 = \sum_{\alpha<k\le \beta} \Phi(k)e^{2\pi i F(k)} ,

длина которой \beta-\alpha много меньше, чем b-a. Первые соотношения вида

S = S_1 + R

где R — остаточный член, с конкретными функциями \varphi(x) и f(x), были получены Г. Харди и Дж. Литтлвудом[5],[6],[7] при выводе функционального уравнения для дзета-функции Римана \zeta(s) и И. Виноградовым [8], при рассмотрении количеств целых точек в областях на плоскости. В общем виде теорема была доказана Дж. Ван дер Корпутом [9],[10] (о недавних результатах, связанных с теоремой Ван дер Корпута можно прочитать в [11]).

В каждой из вышеупомянутых работ, на функции \varphi(x) и f(x) накладывались некоторые ограничения. С ограничениями, удобными для приложений, теорема была доказана А.А. Карацубой в [12] (см. также [13],[14]).

Примечания[править | править вики-текст]

  1. E. A. Karatsuba Approximation of sums of oscillating summands in certain physical problems, — JMP 45:11, pp. 4310—4321 (2004).
  2. E. A. Karatsuba On an approach to the study of the Jaynes-Cummings sum in quantum optics, — Numerical Algorithms, Vol. 45, No.1-4 , pp. 127—137 (2007).
  3. E. Chassande-Mottin, A. Pai Best chirplet chain: near-optimal detection of gravitational wave chirps, — Phys. Rev. D 73:4, 042003, pp. 1—23 (2006).
  4. M. Fleischhauer, W. P. Schleich Revivals made simple: Poisson summation formula as a key to the revivals in the Jaynes-Cummings model, — Phys. Rev. A 47:3, pp. 4258—4269 (1993).
  5. G. H. Hardy and J. E. Littlewood The trigonometrical series associated with the elliptic θ-functions, — Acta Math. 37, pp. 193—239 (1914).
  6. G. H. Hardy and J. E. Littlewood Contributions to the theory of Riemann Zeta-Function and the theory of the distribution of primes, — Acta Math. 41, pp. 119—196 (1918).
  7. G. H. Hardy and J. E. Littlewood The zeros of Riemann’s zeta-function on the critical line, — Math. Z., 10, pp. 283—317 (1921).
  8. И. М. Виноградов О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя, — Сообщ. Харьк. Матем. О-ва, т. 16, № 1/2 , с.10—38 (1918).
  9. J. G. Van der Corput Zahlentheoretische Abschätzungen, — Math. Ann. 84, pp. 53—79 (1921).
  10. J. G. Van der Corput Verschärfung der abschätzung beim teilerproblem, — Math. Ann., 87, pp. 39—65 (1922).
  11. H. L. Montgomery Ten Lectures on the Interface Between Analytic Number Theory and Harmonic Analysis, — Am. Math. Soc., 1994.
  12. A. A. Karatsuba Approximation of exponential sums by shorter ones, — Proc. Indian. Acad. Sci. (Math. Sci.) 97: 1—3, pp. 167—178 (1987).
  13. С. М. Воронин, А. А. Карацуба Дзета-функция Римана, — М.: Физматлит, 1994.
  14. А. А. Карацуба, М. А. Королёв Теорема о приближении тригонометрической суммы более короткой, — Известия РАН. Серия математики, т. 71, № 2, с. 123—150 (2007).