Тригонометрическая сумма

Пример: тригонометрическая сумма над квадратичными вычетами по модулю $m=11$. Разнонаправленность векторов (изгиб пути из разноцветных линий) делает абсолютное значение суммы (длину жёлтой линии) меньше числа слагаемых. Это общий момент для тригонометрических сумм в целом, а модуль таких сумм при растущем $m$ и вовсе имеет порядок ${\sqrt {m}}$.

Тригонометрическая сумма — это конечная сумма комплексных чисел, геометрически соответствующих векторам на единичной окружности, то есть вида $e(\varphi ):=\cos \varphi +i\sin \varphi \ .$

Такие суммы по значениями $\varphi$, образованным из множества чисел или элементов группы, изучаются в аналитической теории чисел. Верхние оценки на них позволяют оценивать число решений уравнений с переменными из рассматриваемых множеств.

Геометрические свойства синусов и косинусов из определения $e(\varphi )$ не играют в методе ключевой роли. Формула Эйлера

$e(\varphi )=e^{2\pi \varphi i}$

позволяет интерпретировать слагаемые как степени друг друга и использовать для оценки сумм свойства возведения в степень и геометрических прогрессий.

Когда $\varphi$ рационально, слагаемое является корнем из единицы. В современной литературе принято обозначение

$e_{q}(a):=e\left({\frac {a}{q}}\right)=e^{2\pi {\frac {a}{q}}i}\ .$

Суммы с такими слагаемыми используются для изучения множеств значений по модулю $q$. Они наиболее популярны.

Метод тригонометрических сумм — один из самых мощных и развивающихся в современной теории чисел. Лишь некоторые виды сумм изучены достаточно хорошо, чтобы результаты о них можно было классифицировать, а уровень знаний считать устоявшимся. Для приложений в теории чисел бывает достаточно очень слабых, но нетривиальных оценок той или иной тригонометрической суммы. Часто такие оценки изучаются и просто сами по себе, ввиду общепризнанной важности развития методов их изучения.

Основные свойства

Через тригонометрические суммы можно выражать утверждения о равенстве нулю:

• для любых $m\in {\mathbb {N} },\ a\in {\mathbb {Z} }$ верно, что $\sum \limits _{x=0}^{m-1}{e_{m}(ax)}={\begin{cases}m,&a\equiv 0{\pmod {m}}\\0,&a\not \equiv 0{\pmod {m}}\end{cases}}$;

• аналогично, для любого $n\in {\mathbb {Z} }$ верно, что $\int \limits _{0}^{1}{e(\alpha n)d\alpha }={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\not =0\end{cases}}$.

Используя общую структуру абелевых групп, можно получить аналогичные выражения для любой такой группы вместо ${\mathbb {Z} }_{m}$ и ${\mathbb {Z} }$.

При выводе оценок часто используют соображения о том, что:

• произведение и сопряжение (а значит, и чётные степени модулей) тригонометрических сумм также будет тригонометрической суммой — перемножая суммы, по-разному группируя слагаемые и применяя неравенство Гёльдера, можно переходить от одного множества или уравнения к другим, решая ту же задачу;

• для любых $\varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}$ верна тривиальная оценка ${\Bigg \vert }{\sum \limits _{i=1}^{n}e(\varphi _{i})}{\Bigg \vert }\leq n$.

Приложения

Число решений уравнений

Выражение

Для множеств $A_{1},\dots ,A_{k}$ и функции $f:A_{1}\times \dots \times A_{k}\to {\mathbb {Z} }_{m}$ число решений уравнения

$f(x_{1},\dots ,x_{k})\equiv 0{\pmod {m}},\ x_{1}\in A_{1},\dots ,x_{k}\in A_{k}$

можно выразить через тригонометрическую сумму как сумму скобок Айверсона:

$\sum \limits _{x_{1}\in A_{1},\dots ,x_{k}\in A_{k}}{[f(x_{1},\dots ,x_{k})\equiv 0{\pmod {m}}]}={\frac {1}{m}}\sum \limits _{x_{1}\in A_{1},\dots ,x_{k}\in A_{k}}\sum \limits _{t=0}^{m-1}{e_{m}(tf(x_{1},\dots ,x_{k}))}\ .$

Аналогично, для целочисленной $f$ и решений $f(x_{1},\dots ,x_{k})=0$ допустимо представление

$\sum \limits _{x_{1}\in A_{1},\dots ,x_{k}\in A_{k}}{[f(x_{1},\dots ,x_{k})=0]}=\sum \limits _{x_{1}\in A_{1},\dots ,x_{k}\in A_{k}}\int \limits _{0}^{1}e(\alpha f(x_{1},\dots ,x_{k}))d\alpha \ .$

Эти конструкции легко обобщить на системы уравнений.

В качестве уравнения может выступать в том числе формула представления числа в виде суммы — типичный объект изучения аддитивной теории чисел.

Использование

Тригонометрические выражения наиболее полезны когда функция $f$ хорошо разлагается на слагаемые. Например, если

$f(x_{1},\dots ,x_{k})=f_{1}(x_{1})+\dots +f_{k}(x_{k})\ ,$

то, меняя порядок суммирования, можно получить выражение

$\sum \limits _{x_{1}\in A_{1},\dots ,x_{k}\in A_{k}}\sum \limits _{t=0}^{m-1}{e_{m}(t(f_{1}(x_{1})+\dots f_{k}(x_{k})))}=\sum \limits _{t=0}^{m-1}\prod \limits _{i=1}^{k}\left(\sum \limits _{x_{i}\in A_{i}}{e_{m}(tf_{i}(x_{i}))}\right)\leq \sum \limits _{t=0}^{m-1}\prod \limits _{i=1}^{k}{\Bigg \vert }\sum \limits _{x_{i}\in A_{i}}{e_{m}(tf_{i}(x_{i}))}{\Bigg \vert }\ .$

Суммы $\sum \limits _{x_{i}\in A_{i}}{e_{m}(tf_{i}(x_{i}))}$ по отдельности друг от друга не имеют комбинаторной интерпретации, но могут быть оценены аналитически. Именно это делает метод тригонометрических сумм нетривиальным.

При $t=0$ все слагаемые вырождаются в $e(0)=1$, так что эта часть суммы всегда равна $|A_{1}|\dots |A_{k}|$ и называется главным членом. Поэтому оценки числа решений через тригонометрические суммы чаще всего не могут быть лучше чем ${\frac {|A_{1}|\dots |A_{k}|}{m}}$. В частности, именно такая величина нужна в доказательстве равномерного распределения. При работе с интегралами роль главного члена среди интервала $[0;1]$ выполняют окрестности несократимых дробей с малыми знаменателями.

Нюансы

О связи уравнений и тригонометрических сумм следует отметить два нюанса. Во-первых, иногда бывает удобно переходить не от уравнения к суммам, а наоборот в ходе оценке суммы после её преобразований переходить к анализу простого или известного уравнения. Во-вторых, чисто комбинаторные преобразования уравнений можно выражать на языке тригонометрических сумм. Поэтому в литературе, посвящённой тригонометрическим суммам, часто эти преобразования так и излагают, без упоминания о том, что то же самое можно сделать элементарно. Тем не менее, существует много случаев, когда прямое элементарное переложение невозможно.

Равномерное распределение

Если функцию, так или иначе связанную с умножением, применить к интервалу, то тригонометрическая сумма над получившимся множеством, как правило, будет иметь порядок ${\sqrt {n}}$, где $n$ — длина интервала (число слагаемых). Этот эффект известен как «square-root barier» и свидетельствует о равномерном распределении множества с очень малым остаточным членом (порядка ${\sqrt {n}}\log p$).
На графике $g$ — первообразный корень, ${\rm {ind}}$ — дискретный логарифм. Для других больших интервалов вместо $[1;p/5]$ результаты будут похожими.

Для любого интервала $I=\{M,M+1,\dots ,N-1,N\}$ в кольце вычетов ${\mathbb {Z} }_{m}$ можно оценить связанную с ним тригонометрическую сумму

$\sum \limits _{a=1}^{m}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{x\in I}{e_{m}(ax)}}{\Bigg \vert }}\leq m\ln m$

Благодаря этому оценку тригонометрических сумм над множеством в ${\mathbb {Z} }_{m}$ можно преобразовывать в утверждение о его равномерном распределении в ${\mathbb {Z} }_{m}$:

Если для множества $A\subset {\mathbb {Z} }_{m}$ и любого $t\in {\mathbb {Z} }_{m}\setminus \{0\}$ верна оценка ${\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A}{e_{m}(ta)}}{\Bigg \vert }=o\left({\frac {|A|}{\log m}}\right)$, то для любых $0\leq \delta _{1}<\delta _{2}\leq 1$ можно показать, что $|A\cap [\delta _{1}m;\delta _{2}m]|=(\delta _{2}-\delta _{1}+o(1))|A|$

Чаще всего подобные результаты удобно получать для простого $m$. Известны оценки таких сумм для квадратичных вычетов, других степеней, индексов (дискретных логарифмов) чисел из интервала, обратных элементов для интервала и даже для произвольной мультипликативной подгруппы размера $p^{\varepsilon }$ (для любого фиксированного $\varepsilon >0$). Похожий метод применим для доказательства равномерного распределения вещественных последовательностей в интервале $(0;1)$.

По аналогии с этим, суммы мультипликативных характеров можно воспринимать как показатель равномерности относительно структуры мультипликативной группы ${\mathbb {F} }_{p}$. Такие суммы хорошо изучены для интервалов, множества значений многочленов и сдвигов простых чисел.

История

Первое использование тригонометрических сумм относят к исследованию Гаусса о квадратичном законе взаимности (1795 г.). Он оценивал суммы с квадратичными вычетами, то есть вида $\sum \limits _{x=1}^{p}{e_{p}(ax^{2})},\ a\in {\mathbb {Z} }_{p}$. Вскоре Дирихле применил суммы характеров с коэффициентами к изучению распределения простых чисел в арифметических прогрессиях.

В конце XIX — начале XX века тригонометрических суммы стали использовать для исследования распределения последовательностей.

Значимым событием стало применение тригонометрических сумм к решению проблемы Варинга двумя способами: круговым методом Харди-Литтлвуда и переосмыслившим его методом И. М. Виноградова. Виноградов впоследствии развил свой метод для получения результатов о простых числах, в том числе решения тернарной проблемы Гольдбаха для достаточно больших чисел и аналога проблемы Варинга для простых чисел.

Клаус Рот и позже Уильям Тимоти Гауэрс применили технику кругового метода для доказательства теоремы Семереди. Впоследствии тригонометрические суммы были использованы во многих задачах аддитивной комбинаторики.

Суммы с собственными названиями

• суммы Рамануджана для $a\in {\mathbb {Z} }_{q},\ (a,q)=1$:

$\sum \limits _{1\leq x\leq q \atop (x,q)=1}{e_{q}(ax)}$

• суммы Гаусса $a\in {\mathbb {Z} }_{q}$:

$\sum \limits _{x=1}^{q}{e_{q}(ax^{2})}$

• суммы Вейля для многочлена $f$ с вещественными (не целыми) коэффициентами и интервала $[a;b]$:

$\sum \limits _{a\leq n\leq b}{e(f(n))}$

• суммы Клоостермана, связанные с обратными элементами $x^{-1}$, где $x\in {\mathbb {Z} }_{p},\ xx^{-1}\equiv 1{\pmod {p}}$. Например, для $a,b\in {\mathbb {Z} }_{q}$:

$\sum \limits _{1\leq x\leq q \atop (x,q)=1}{e(ax+bx^{-1})}$

• дискретное преобразование Фурье для индикаторной функции множества $A\subset {\mathbb {Z} }_{m},\ t\in {\mathbb {Z} }_{m}$:

${\widehat {A}}(t)=\sum \limits _{a\in A}{e_{m}(at)}$

• мультилинейные суммы для множеств $A_{1},\dots ,A_{k}\subset {\mathbb {Z} }_{m}$:

$\sum \limits _{a_{1}\in A_{1}}\dots \sum \limits _{a_{k}\in A_{k}}{e_{m}(a_{1}\dots a_{k})}$

• суммы мультипликативных характеров по множеству $A\subset {\mathbb {F} }_{p}^{*}$ (функция ${\rm {ind}}$ означает дискретный логарифм, а параметр $t\in {\mathbb {Z} }_{p}$ соответствует выбранному характеру):

$\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(t\cdot {\rm {ind}}(a))}\ ,$

Обобщения

При изучении некоммутативных групп характеры представлений можно использовать для определения аналогов коэффициентов Фурье.

Литература

• И. М. Виноградов. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. — М.: Наука, 1971. — 158 с. — 7500 экз.

• К. Чандрасекхаран. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Мир, 1974. — 185 с.

• А, А. Карацуба. Основы аналитической теории чисел. — М.: Наука, 1983. — 240 с.

• Б. И. Сегал. Тригонометрические суммы и некоторые их применения к теории чисел (рус.) // Успехи математических наук. — 1946. — Т. 1, вып. 3–4. — С. 147–193.

• А. А. Карацуба. Арифметические проблемы теории характеров Дирихле (рус.) // Успехи математических наук. — 2008. — Т. 63, вып. 4. — С. 43–92.

• М. А. Королёв. Методы оценок коротких сумм Клоостермана (рус.) // Чебышёвский сборник. — 2016. — Т. 17, вып. 4. — С. 79–109.

• М. З. Гараев. Суммы и произведения множеств и оценки рациональных тригонометрических сумм в полях простого порядка, (рус.) // Успехи математических наук. — 2010. — Т. 65, вып. 4 (394). — С. 5—66. — doi:10.4213/rm9367.

• И. Д. Шкредов. Анализ Фурье в комбинаторной теории чисел (рус.) // Успехи математических наук. — 2010. — Вып. 3. — С. 127—184.

• W. T. Gowers. A new proof of Szemerédi's theorem (англ.) // Geometric & Functional Analysis GAFA. — 2001. — Vol. 11. — P. 465–588. — doi:10.1007/s00039-001-0332-9.

• И. Д. Шкредов. О двумерном аналоге теоремы Семереди в абелевых группах (рус.) // Известия Российской академии наук. Серия математическая. — 2009. — Т. 73, вып. 5. — С. 181–224.

• J. Bourgain. Multilinear Exponential Sums in Prime Fields Under Optimal Entropy Condition on the Sources (англ.) // Geometric and Functional Analysis. — 2009. — Vol. 18. — P. 1477–1502. — doi:10.1007/s00039-008-0691-6.

• N. G. Moshchevitin, I. D. Shkredov. On a modular form of Zaremba's conjecture (англ.). — 2019. — arXiv:1911.07487.