Эндоморфизм Фробениуса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Автоморфизм Фробениуса»)
Перейти к: навигация, поиск

Эндоморфизм Фробениуса — эндоморфизм коммутативного кольца простой характеристики p, задаётся формулой x\mapsto x^p. В некоторых случаях, например, в случае конечного поля, эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом, однако в общем случае это не так.

Определение и базовые свойства[править | править викитекст]

Пусть R — коммутативное кольцо простой характеристики p (в частности, таким является любое целостное кольцо ненулевой характеристики). Эндоморфизм Фробениуса кольца R определяется формулой F(x)=x^p. Эндоморфизм Фробениуса действительно является гомоморфизмом колец, так как (xy)^p=x^py^p, (x+y)^p=x^p+y^p (для того, чтобы доказать последнее тождество, достаточно расписать левую часть по формуле бинома Ньютона и заметить, что все биномиальные коэффициенты, кроме первого и последнего, делятся на p).

Если \varphi:R\to S — произвольный гомоморфизм колец простой характеристики p, то \varphi (x^p)=(\varphi (x))^p, то есть: \varphi \circ F_R = F_S\circ \varphi.

Это значит, что эндоморфизм Фробениуса является естественным преобразованием тождественного функтора (на категории коммутативных колец характеристики p) в себя.

Если кольцо R не содержит нетривиальных нильпотентов, то эндоморфизм Фробениуса инъективен (так как его ядро нулевое). Легко доказать, что верно и обратное: если x — нетривиальный нильпотент, обнуляющийся начиная со степени n, то (x^{n-1})^p=0. Эндоморфизм Фробениуса не обязательно сюръективен, даже если R является полем. Например, пусть R=\mathbb F_p(t) — поле рациональных функций с коэффициентами в \mathbb F_p, тогда функция t не лежит в образе эндоморфизма Фробениуса.

Поле K называется совершенным, если его характеристика равна нулю, либо характеристика положительна и эндоморфизм Фробениуса сюръективен (а следовательно, является автоморфизмом). В частности, все конечные поля являются совершенными.

Неподвижные точки[править | править викитекст]

Рассмотрим конечное поле \mathbb F_p. Согласно малой теореме Ферма, все элементы этого поля удвлетворяют уравнению x^p=x. Уравнение p-й степени не может иметь более p корней, следовательно, в любом расширении поля \mathbb F_p неподвижные точки эндоморфизма Фробениуса — это в точности элементы поля \mathbb F_p. Аналогичное утверждение верно для целостных колец характеристики p.

Сходным свойствам удовлетворяют и степени эндоморфизма Фробениуса. Если \mathbb F_{p^k} — конечное поле, все его элементы удовлетворяют уравнению x^{p^k}=x и в любом расширении этого поля элементы исходного поля являются неподвижными точками k-й степени эндоморфизма Фробениуса, то есть неподвижными точками x\mapsto x^{p^k}.

Порождающий элемент группы Галуа[править | править викитекст]

Группа Галуа конечного расширения конечного поля является циклической и порождается степенью эндоморфизма Фробениуса. Рассмотрим сначала случай, когда основное поле является простым. Пусть \mathbb F_q — конечное поле, где q=p^n. Эндоморфизм Фробениуса F сохраняет элементы простого поля \mathbb F_p, поэтому он является элементом группы Галуа расширения \mathbb F_q\supset \mathbb F_p. Оказывается, что эта группа является циклической и порождается F. Порядок этой группы равен n, так как эндоморфизм x\mapsto x^{q} действует на \mathbb F_q тождественно, а меньшие степени не могут действовать тождественно.

В расширении \mathbb F_{q^k}\supset \mathbb F_q основное поле фиксируется n-й степенью эндоморфизма Фробениуса, группа Галуа расширения порождается F^n и имеет порядок k.

Эндоморфизм Фробениуса для схем[править | править викитекст]

См. также[править | править викитекст]

Литература[править | править викитекст]