Автоморфизм Фробениуса

Автоморфизм Фробениуса — автоморфизм конечного поля $\mathbb{F}_{q^m}$ над полем $\mathbb{F}_{q}$ , где q - степень простого числа. Автоморфизм Фробениуса задается формулой $x\mapsto x^q$ . Группа автоморфизмов $\mathbb{F}_{q^m}$ над $\mathbb{F}_{q}$ носит также название группы Галуа поля $\mathbb{F}_{q^m}$ над $\mathbb{F}_{q}$ . Группа Галуа $\mathbb{F}_{q^m}$ над $\mathbb{F}_{q}$ является циклической, а значит поле $\mathbb{F}_{q^m}$ является циклическим расширением поля $\mathbb{F}_{q}$ .

Свойства [править]

Автоморфизм Фробениуса $\sigma$ является автоморфизмом: $\sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b), \sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)$ .
Автоморфизмы $\sigma^j$ переводят любой элемент $\alpha$ в ему сопряженные
Автоморфизм Фробениуса оставляет на месте элементы основного поля $\mathbb{F}_q$ .
Если $f$ - многочлен степени m над $\mathbb{F}_q$ , то он имеет корень $\alpha$ в $\mathbb{F}_{q^m}$ и все его m корней $\alpha_j$ получаются применением m раз автоморфизма Фробениуса к $\alpha$ : $\alpha_j=\sigma_j(\alpha)$ .
Поскольку $(\forall f\in \mathbb{F}_{q^m}) f^{q^m}=f$ , $\sigma^m=1$ , а все автоморфизмы $\sigma,\sigma^2,...\sigma^m$ различны. Также, автоморфизмы $\sigma,\sigma^2,...\sigma^m$ исчерпывают все возможные автоморфизмы $\mathbb{F}_{q^m}$ над $\mathbb{F}_{q}$ , так что группа Галуа $Gal(\mathbb{F}_{q^m},\mathbb{F}_{q})$ является циклической с образующим элементом $\sigma_1$ .