Телесный угол

Телесный угол

Теле́сный у́гол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и многогранные углы. Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность.

Телесный угол измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы:

$\Omega\,=\,{S\over R^2}.$

Стерадиан

Очевидно, телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) величинами. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан, равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса $~r$ поверхность с площадью $~r^2$. Полная сфера образует телесный угол, равный $~4\pi$ стерадиан (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы; таким же является телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей. Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла.

Телесный угол имеет нулевую физическую размерность.

Обозначается телесный угол обычно буквой $~\Omega$.

Двойственный телесный угол к данному телесному углу $~\Omega$ определяется как угол, состоящий из лучей, образующих с любым лучом угла $~\Omega$ неострый угол.

Коэффициенты пересчёта единиц телесного угла.

	Стерадиан	Кв. градус	Кв. минута	Кв. секунда	Полный угол
1 стерадиан =	1	(180/π)² ≈ ≈ 3282,806 кв. градусов	(180×60/π)² ≈ ≈ 1,1818103·107 кв. минут	(180×60×60/π)² ≈ ≈ 4,254517·1010 кв. секунд	1/4π ≈ ≈ 0,07957747 полного угла
1 кв. градус =	(π/180)² ≈ ≈ 3,0461742·10−4 стерадиан	1	60² = = 3600 кв. минут	(60×60)² = = 12 960 000 кв. секунд	π/(2×180)² ≈ ≈ 2,424068·10−5 полного угла
1 кв. минута =	(π/(180×60))² ≈ ≈ 8,461595·10−8 стерадиан	1/60² ≈ ≈ 2,7777778·10−4 кв. градусов	1	60² = = 3600 кв. секунд	π/(2×180×60)² ≈ ≈ 6,73352335·10−9 полного угла
1 кв. секунда =	(π/(180×60×60))² ≈ ≈ 2,35044305·10−11 стерадиан	1/(60×60)² ≈ ≈ 7,71604938·10−8 кв. градусов	1/60² ≈ ≈ 2,7777778·10−4 кв. минут	1	π/(2×180×60×60)² ≈ ≈ 1,87042315·10−12 полного угла
Полный угол =	4π ≈ ≈ 12,5663706 стерадиан	(2×180)²/π ≈ ≈ 41252,96125 кв. градусов	(2×180×60)²/π ≈ ≈ 1,48511066·108 кв. минут	(2×180×60×60)²/π ≈ ≈ 5,34638378·1011 кв. секунд	1

Вычисление телесных углов

Для произвольной стягивающей поверхности $S$ телесный угол $\Omega$, под которым она видна из начала координат, равен

$\Omega = \iint\limits_S d\Omega = \iint\limits_S \sin \vartheta d\varphi d\vartheta = \iint\limits_S \frac{(\mathbf{r}/r)\cdot \mathbf{n}dS}{r^2},$

где $r, \vartheta, \varphi$ — сферические координаты элемента поверхности $dS,$ $\mathbf{r}$ — его радиус-вектор, $\mathbf{n}$ — единичный вектор, нормальный к $dS.$

Свойства телесных углов

1. Полный телесный угол (полная сфера) равен $4\pi$ стерадиан.
2. Сумма всех телесных углов, двойственных к внутренним телесным углам выпуклого многогранника, равна полному углу.

Величины некоторых телесных углов

• Треугольник с координатами вершин $\mathbf{r}_1$, $\mathbf{r}_2$, $\mathbf{r}_3$ виден из начала координат под телесным углом

$\Omega = 2\, \mathrm{arctg}\, \frac{(\mathbf{r}_1\mathbf{r}_2\mathbf{r}_3)}{r_1r_2r_3 + (\mathbf{r}_1\cdot\mathbf{r}_2)r_3 + (\mathbf{r}_2\cdot\mathbf{r}_3)r_1 + (\mathbf{r}_3\cdot\mathbf{r}_1)r_2},$

где $(\mathbf{r}_1\mathbf{r}_2\mathbf{r}_3)$ — смешанное произведение данных векторов, $(\mathbf{r}_i\cdot\mathbf{r}_j)$ — скалярные произведения соответствующих векторов, полужирным шрифтом обозначены векторы, нормальным шрифтом — их длины. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники).

• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса с углом раствора α равен $\Omega = 2\pi (1 - \cos \frac{\alpha}{2})$. Если известны радиус основания $R$ и высота $H$ конуса, то $\Omega = 2\pi (1 - \frac{H}{\sqrt{R^2+H^2}})$. Когда угол раствора конуса мал, $\Omega \approx \frac{\pi \alpha^2}{4}$ ($\alpha$ выражено в радианах), или $\Omega \approx 0,000239 \alpha^2$ ($\alpha$ выражено в градусах). Так, телесный угол, под которым с Земли видны Луна и Солнце (их угловой диаметр примерно равен 0,5°), составляет около 6·10⁻⁵ стерадиан, или ≈0,0005 % площади небесной сферы (то есть полного телесного угла).

• Телесный угол двугранного угла в стерадианах равен удвоенному значению двугранного угла в радианах:

• Телесный угол трёхгранного угла выражается по теореме Люилье через его плоские углы $\theta_a, \theta_b, \theta_c$ при вершине, как:

$\Omega = 4\,\operatorname{arctg}\sqrt{ \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)}$, где $\theta_s = \frac{\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}$ — полупериметр.

Через двугранные углы $\alpha, \beta, \gamma$ телесный угол выражается, как:

$\Omega = \alpha + \beta + \gamma - \pi$

• Телесный угол при вершине куба (или любого другого прямоугольного параллелепипеда) равен $\frac{1}{8}$ полного телесного угла, или $\frac{\pi}{2}$ стерадиан.

• Телесный угол, под которым видна грань правильного N-гранника из его центра, равна $\frac{1}{N}$ полного телесного угла, или $\frac{4\pi}{N}$ стерадиан.

См. также

• Угол
• Двугранный угол
• Трехгранный угол
• Многогранный угол