Телесный угол

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Телесный угол

Теле́сный у́гол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и многогранные углы. Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность.

Телесный угол измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы:

\Omega\,=\,{S\over R^2}.
Стерадиан

Телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) величинами. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан, равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса r поверхность с площадью r2. Полная сфера образует телесный угол, равный 4π стерадиан (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы; таким же является телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей. Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла.

Телесный угол имеет нулевую физическую размерность.

Обозначается телесный угол обычно буквой Ω.

Двойственный телесный угол к данному телесному углу Ω определяется как угол, состоящий из лучей, образующих с любым лучом угла Ω неострый угол.

Коэффициенты пересчёта единиц телесного угла.

~\Omega
Стерадиан Кв. градус Кв. минута Кв. секунда Полный угол
1 стерадиан = 1 (180/π)² ≈
≈ 3282,806 кв. градусов
(180×60/π)² ≈
≈ 1,1818103·107 кв. минут
(180×60×60/π)² ≈
≈ 4,254517·1010 кв. секунд
1/4π ≈
≈ 0,07957747 полного угла
1 кв. градус = (π/180)² ≈
≈ 3,0461742·10−4 стерадиан
1 60² =
= 3600 кв. минут
(60×60)² =
= 12 960 000 кв. секунд
π/(2×180)² ≈
≈ 2,424068·10−5 полного угла
1 кв. минута = (π/(180×60))² ≈
≈ 8,461595·10−8 стерадиан
1/60² ≈
≈ 2,7777778·10−4 кв. градусов
1 60² =
= 3600 кв. секунд
π/(2×180×60)² ≈
≈ 6,73352335·10−9 полного угла
1 кв. секунда = (π/(180×60×60))² ≈
≈ 2,35044305·10−11 стерадиан
1/(60×60)² ≈
≈ 7,71604938·10−8 кв. градусов
1/60² ≈
≈ 2,7777778·10−4 кв. минут
1 π/(2×180×60×60)² ≈
≈ 1,87042315·10−12 полного угла
Полный угол = 4π ≈
≈ 12,5663706 стерадиан
(2×180)²/π ≈
≈ 41252,96125 кв. градусов
(2×180×60)²/π ≈
≈ 1,48511066·108 кв. минут
(2×180×60×60)²/π ≈
≈ 5,34638378·1011 кв. секунд
1

Вычисление телесных углов[править | править вики-текст]

Для произвольной стягивающей поверхности S телесный угол Ω, под которым она видна из начала координат, равен

\Omega = \int\limits_S d\Omega 
= \iint\limits_S \sin \vartheta d\varphi d\vartheta
= \int\limits_S \frac{(\mathbf{r}/r)\cdot \mathbf{n}dS}{r^2},

где r, \vartheta, \varphi — сферические координаты элемента поверхности dS, \mathbf{r} — его радиус-вектор, \mathbf{n} — единичный вектор, нормальный к dS.

Свойства телесных углов[править | править вики-текст]

  1. Полный телесный угол (полная сфера) равен 4π стерадиан.
  2. Сумма всех телесных углов, двойственных к внутренним телесным углам выпуклого многогранника, равна полному углу.

Величины некоторых телесных углов[править | править вики-текст]

  • Треугольник с координатами вершин \mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \mathbf{r}_3 виден из начала координат под телесным углом

\Omega = 2\, \mathrm{arctg}\, \frac{(\mathbf{r}_1\mathbf{r}_2\mathbf{r}_3)}{r_1r_2r_3 + (\mathbf{r}_1\cdot\mathbf{r}_2)r_3 + (\mathbf{r}_2\cdot\mathbf{r}_3)r_1 + (\mathbf{r}_3\cdot\mathbf{r}_1)r_2},

где (\mathbf{r}_1\mathbf{r}_2\mathbf{r}_3) — смешанное произведение данных векторов, (\mathbf{r}_i\cdot\mathbf{r}_j) — скалярные произведения соответствующих векторов, полужирным шрифтом обозначены векторы, нормальным шрифтом — их длины. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники).

  • Телесный угол при вершине прямого кругового конуса с углом раствора α равен \Omega = 2\pi (1 - \cos \frac{\alpha}{2}). Если известны радиус основания R и высота H конуса, то \Omega = 2\pi (1 - \frac{H}{\sqrt{R^2+H^2}}). Когда угол раствора конуса мал, \Omega \approx \frac{\pi \alpha^2}{4} (\alpha выражено в радианах), или \Omega \approx 0,000239 \alpha^2 (\alpha выражено в градусах). Так, телесный угол, под которым с Земли видны Луна и Солнце (их угловой диаметр примерно равен 0,5°), составляет около 6·10−5 стерадиан, или ≈0,0005 % площади небесной сферы (то есть полного телесного угла).
  • Телесный угол двугранного угла в стерадианах равен удвоенному значению двугранного угла в радианах.
\Omega = 4\,\operatorname{arctg}\sqrt{ \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)} , где \theta_s = \frac{\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2} — полупериметр.
Через двугранные углы \alpha, \beta, \gamma телесный угол выражается как:
\Omega = \alpha + \beta + \gamma - \pi.
  • Телесный угол, под которым видна грань правильного N-гранника из его центра, равна \frac{1}{N} полного телесного угла, или \frac{4\pi}{N} стерадиан.

См. также[править | править вики-текст]