Многогранник

Многогранник или полиэдр — поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающих некоторое геометрическое тело, которое также иногда называется многогранником.

Три варианта определения

Многогранник, точнее трёхмерный многогранник — совокупность конечного числа плоских многоугольников в трёхмерном евклидовом пространстве такая, что:

1. каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);
2. связность: от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним, и т. д.

Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами многогранника. Простейшими примерами многогранников являются выпуклые многогранники, то есть граница ограниченного подмножества евклидова пространства являющееся пересечением конечного числа полупространств.

Приведенное определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник, для которого возможны следующие два варианта:

• Плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся);
• Части плоскости, ограниченные ломаными.

В первом случае мы получаем понятие звёздчатый многогранник. Во втором — многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется многогранником. Отсюда возникает третье определение многогранника, как самого геометрического тела.

Общее название многогранника образуется от количества его граней: четырёхгранник, двенадцатигранник, четырнадцатигранник и т. п. Многие правильные и полуправильные многогранники имеют названия греческого происхождения. Так, существует два распространённых именных двенадцатигранника: правильный додекаэдр и полуправильный ромбододекаэдр.

Выпуклый многогранник

Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней

Вариации и обобщения

• Понятие многогранника индуктивно обобщается по размерности, и обычно называется n-мерный многогранник или n-мерный политоп.
• Бесконечный многогранник допускает в определении конечное число неограниченных граней и рёбер
• Криволинейные многогранники допускают криволинейные рёбра и грани.
• Сферический многогранник.

См. также

• Двойственный многогранник
• Изгибаемый многогранник
• Перестановочный многогранник
• Теорема Коши о многогранниках
• Теорема Минковского о многогранниках
• Теорема Александрова о выпуклых многогранниках
• Теорема Линделёфа о многограннике наименьшей площади при заданном объёме

Ссылки

• Тиморин В.А. Комбинаторика выпуклых многогранников — МЦНМО, 2002. — 16 с. — ISBN 5-94057-024-0.
• Веннинджер Магнус. Модели многогранников — Москва: Мир, 1974. — С. 236. (рус.)
• Гончар В.В. Модели многогранников — Москва: Аким, 1997. — С. 64. — ISBN 5-85399-032-2. (рус.)
• Гончар В.В. Модели многогранников — Ростов-на-Дону: Феникс, 2010. — С. 143. — ISBN 978-5-222-17061-8. (рус.)