Дифференциал (дифференциальная геометрия)

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения. Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.

Необходимые знания

Для полного понимания этой статьи от читателя требуется начальные предствления о гладких многообразиях и их касательных пространствах.

Обозначения

Обычно дифференциал $f$ обозначается $df$. Некоторые авторы предпочитают обозначать $\operatorname{d}f$ шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором. Дифференциал в точке $x$ обозначается $d_xf$, а иногда $df_x$ или $df[x]$. ($d_xf$ есть линейная функция на касательном пространстве в точке $x$.)

Если $v$ есть касательный вектор в точке $x$, то значение дифференциала на $v$ обычно обозначается $df(v)$, в этом обозначении $x$ излишне, но обозначения $d_xf(v)$, $df_x(v)$ и $df[x](v)$ также правомерны.

Используется так же обозначение $f_*$; последнее связано с тем, что дифференциал $f\colon M\to N$ является естественным поднятием $f$ на касательные расслоения к многообразиям $M$ и $N$.

Определения

Для вещественнозначных функций

Пусть $M$ — гладкое многообразие и $f\colon M\to \R$ гладкая функция. Дифференциал $f$ представляет из себя 1-форму на $M$, обычно обозначается $df$ и определяется соотношением

$df(X)=d_pf(X)=X f,$

где $X f$ обозначает производную $f$ по направлению касательного вектора $X$ в точке $p\in M$.

Для отображений гладких многообразий

Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие $F\colon M\to N$ есть отображение между их касательными расслоениями, $dF\colon TM\to TN$, такое что для любой гладкой функции $g\colon N\to\R$ имеем

$[dF(X)]g=X(g\circ F),$

где $Xf$ обозначает производную $f$ по направлению $X$. (В левой части равенства берётся производная в $N$ функции $g$ по $dF(X)$; в правой — в $M$ функции $g\circ F$ по $X$).

Это понятие естественным образом обобщает понятия дифференциала функции.

Связанные определения

• Точка $x$ многообразия $M$ называется критической точкой отображения $f: M \to N$, если дифференциал $d_x f: T_x M \to T_{f(x)} N$ не является сюрьективным. (см. также теорема Сарда)
  • В этом случае $f(x)$ называется критическим значением $f$.
  • Точка $y \in N$ называется регулярной, если она не является критической.
• Гладкое отображение $F\colon M\to N$ называется субмерсией, если для любой точки $x\in M$, дифференциал $d_xF\colon T_xM\to T_{F(x)}N$ сюръективен.
• Гладкое отображение $F\colon M\to N$ называется гладким погружением, если для любой точки $x\in M$, дифференциал $d_xF\colon T_xM\to T_{F(x)}N$ инъективен.

Свойства

• Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов:

  $d(F\circ G)=dF\circ dG$ или $d_x(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_xG$

Примеры

• Пусть в открытом множестве $\Omega\subset\R$ задана гладкая функция $f\colon \Omega\to\R$. Тогда $df=f'\,dx$, где $f'$ обозначает производную $f$, а $dx$ является постоянной формой, определяемой $dx(V)=V$.
• Пусть в открытом множестве $\Omega\subset\R^n$ задана гладкая функция $f\colon\Omega\to\R$. Тогда $df=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i$. Форма $dx_i$ может быть определена соотношением $dx_i(V)=v_i$, для вектора $V=(v_1,\;v_2,\;\ldots,\;v_n)$.
• Пусть в открытом множестве $\Omega\subset\R^n$ задано гладкое отображение $F\colon\Omega\to\R^m$. Тогда

  $d_xF(v)=J(x)v,$

где $J(x)$ есть матрица Якоби отображения $F$ в точке $x$.

См. также

• Кодифференциал