Дифференциал (дифференциальная геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения. Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.

Необходимые знания[править | править исходный текст]

Для полного понимания этой статьи от читателя требуется начальные представления о гладких многообразиях и их касательных пространствах.

Обозначения[править | править исходный текст]

Обычно дифференциал f обозначается df. Некоторые авторы предпочитают обозначать \operatorname{d}f шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором. Дифференциал в точке x обозначается d_xf, а иногда df_x или df[x]. (d_xf есть линейная функция на касательном пространстве в точке x.)

Если v есть касательный вектор в точке x, то значение дифференциала на v обычно обозначается df(v), в этом обозначении x излишне, но обозначения d_xf(v), df_x(v) и df[x](v) также правомерны.

Используется так же обозначение f_*; последнее связано с тем, что дифференциал f\colon M\to N является естественным поднятием f на касательные расслоения к многообразиям M и N.

Определения[править | править исходный текст]

Для вещественнозначных функций[править | править исходный текст]

Пусть M — гладкое многообразие и f\colon M\to \R гладкая функция. Дифференциал f представляет из себя 1-форму на M, обычно обозначается df и определяется соотношением

df(X)=d_pf(X)=X f,

где X f обозначает производную f по направлению касательного вектора X в точке p\in M.

Для отображений гладких многообразий[править | править исходный текст]

Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие F\colon M\to N есть отображение между их касательными расслоениями, dF\colon TM\to TN, такое что для любой гладкой функции g\colon N\to\R имеем

[dF(X)]g=X(g\circ F),

где Xf обозначает производную f по направлению X. (В левой части равенства берётся производная в N функции g по dF(X); в правой — в M функции g\circ F по X).

Это понятие естественным образом обобщает понятия дифференциала функции.

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • Точка x многообразия M называется критической точкой отображения f: M \to N, если дифференциал d_x f: T_x M \to T_{f(x)} N не является сюрьективным. (см. также теорема Сарда)
    • В этом случае f(x) называется критическим значением f.
    • Точка y \in N называется регулярной, если она не является критической.
  • Гладкое отображение F\colon M\to N называется субмерсией, если для любой точки x\in M, дифференциал d_xF\colon T_xM\to T_{F(x)}N сюръективен.
  • Гладкое отображение F\colon M\to N называется гладким погружением, если для любой точки x\in M, дифференциал d_xF\colon T_xM\to T_{F(x)}N инъективен.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов:
    d(F\circ G)=dF\circ dG или d_x(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_xG

Примеры[править | править исходный текст]

  • Пусть в открытом множестве \Omega\subset\R задана гладкая функция f\colon \Omega\to\R. Тогда df=f'\,dx, где f' обозначает производную f, а dx является постоянной формой, определяемой dx(V)=V.
  • Пусть в открытом множестве \Omega\subset\R^n задана гладкая функция f\colon\Omega\to\R. Тогда df=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i. Форма dx_i может быть определена соотношением dx_i(V)=v_i, для вектора V=(v_1,\;v_2,\;\ldots,\;v_n).
  • Пусть в открытом множестве \Omega\subset\R^n задано гладкое отображение F\colon\Omega\to\R^m. Тогда
    d_xF(v)=J(x)v,
где J(x) есть матрица Якоби отображения F в точке x.

См. также[править | править исходный текст]