Локально тривиальное расслоение

Локально тривиальное расслоение — расслоение, которое локально выглядит как прямое произведение.

Определение

Пусть $E$, $B$ и $F$ суть топологические пространства. Сюрьективное отображение $\pi \colon E\to B$ называется локально тривиальным расслоением пространства $E$ над базой $B$ со слоем $F$  если для всякой точки базы $x\in B$ существует окрестность $U \sub B$, над которой расслоение тривиально. Последнее означает, что существует гомеоморфизм $\varphi\colon \pi^{-1}(U)\to U\times F$, такой что коммутативна диаграмма

.

Здесь $\mathrm{proj_1}:\, U\times F \to U$ — проекция произведения пространств на первый сомножитель.

Пространство $E$ также называется тотальным пространством расслоения или расслоенным пространством.

Связанные определения

• Сечение расслоения — это отображение $s: B \to E$, такое что $\pi \circ s = \mathrm{id}_B$. Вообще говоря, не каждое расслоение имеет сечение. Например, пусть $M$ — многообразие, а $E \to M$ подрасслоение векторов единичной длины в касательном расслоении $TM$. Тогда сечение расслоения $E$ — это векторное поле без нулей на $M$. Теорема о причёсывании ежа показывает, что на сфере такого поля не существует.
• Множество $F_x = \pi^{-1}\{x\}$ называется слоем расслоения $\pi$ над точкой $x\in B$. Каждый слой гомеоморфен пространству $F$, поэтому пространство $F$ называется общим (или модельным) слоем расслоения $\pi$,
• Гомеоморфизм $\varphi$, отождествляющий ограничение расслоения $\pi$ над окрестностью точки $x$ с некоторым тривиальным расслоением, называется локальной тривиализацией расслоения $\pi$ над окрестностью точки $x$.
• Если $\{U_{\alpha}\}$ — покрытие базы $B$ открытыми множествами, и $\varphi_{\alpha}:\pi^{-1}(U_{\alpha}) \to U_{\alpha}\times F$ — соответствующие им отображения тривиализации, тогда семейство $\{(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})\}$ называется тривиализующим атласом расслоения $\pi:E\to B$.
• Предположим локально тривиальное расслоение $\pi:E\to B$ снабжено покрытием $\{U_\alpha\}$ базы $B$ с выделенной тривиализацией $\phi_\alpha : U_\alpha\times F\to \pi^{-1}(U_\alpha)$ и сужение любого отображения сличения $\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta$ на слой принадлежит некоторой подгруппе $G$ группы всех автоморфизмов $F$. Тогда $\pi$ называется локально тривиальным расслоением со структурной группой $G$.

Примеры

• Тривиальное расслоение, то есть проекция $B\times F\to B$ на первый сомножитель.
• Любое накрытие является локально тривиальным расслоением с дискретным слоем.
• Касательное, кокасательное и тензорные расслоения над произвольным многообразием локально тривиальны.
• Если на пространстве $E$ задано непрерывное свободное действие группы $G$, то естественное отображение $E\to E/G$ является локально тривиальным расслоением. Расслоения такого типа называются главными.
• Лист Мёбиуса — пространство нетривиального расслоения над окружностью.
• Расслоение Хопфа — это нетривиальное расслоение $S^3 \to S^2=S^3/S^1$. Оно не имеет сечений, так как оно является главным расслоением со структурной группой $U(1)$, а любое главное расслоение, допускающее сечение, тривиально.
• Сконструировать расслоение можно, задав произвольно его базу (пространство $B$), общий слой (пространство $F$) и отображения перехода (1-коцикл Чеха $\{u_{\alpha\beta}: U_{\alpha}\to \mathrm{Aut}\, F\}$) для какого-нибудь открытого покрытия пространства $B$. Тогда пространство E формально можно получить как множество троек вида $\{(\alpha, x, f_{\alpha}):\,x\in U_{\alpha},\, f_{\alpha}\in F\}$ с правилом отождествления:

$(\alpha, x, f_{\alpha}) = (\beta, x, f_{\beta})$, если $f_{\beta} = u_{\beta\alpha}f_{\alpha}$

Свойства

• Для локально тривиальных расслоений верна теорема о накрывающей гомотопии. Пусть заданы $\pi: E\to B$ — локально тривиальное расслоение, отображения $f\colon M\to B$ и $g\colon M \to E$, так что $f = \pi \circ g$, и гомотопия $\tilde g\colon M\times [0;1] \to B$ отображения $g$ ($\tilde g(m,0) = g(m)$). Тогда существует гомотопия $\tilde f\colon M\times [0;1] \to E$ отображения $f$, такая что диаграмма коммутативна

$\begin{matrix} M\times [0;1] \! && \stackrel{\tilde f}{\longrightarrow} \! && E \\ \\ && \tilde g \searrow && \downarrow \pi \\ \\ && && B \end{matrix}$

• Пусть имеется локально тривиальное расслоение $E\to B$ со слоем $F$ (иногда записываемое формально как $F\to E \to B$). Тогда последовательность гомотопических групп точна:

$\dots \to \pi_2(F) \to \pi_2(E) \to \pi_2(B) \to \pi_1(F) \to \pi_1(E) \to \pi_1(B) \to \pi_0(F)$

• Отображения перехода удовлетворяют условию 1-коцикла Чеха:

Если $x\in U_{\alpha}\cap U_{\beta}\cap U_{\gamma}$, то $u_{\beta\alpha}(x) = u_{\beta\gamma}(x)\circ u_{\gamma\alpha}(x)$.

• Два расслоения над одной и той же базой и с одним и тем же общим слоем изоморфны тогда и только тогда, когда 1-коциклы Чеха, соответствующие им, когомологичны. (Отметим, что в случае, когда группа $\mathrm{Aut}\, F$ некоммутативна, одномерные когомологии $H^1(B,\mathrm{Aut}\, F)$ не образуют группу, а образуют множество, на котором действует (слева) группа 0-коцепей Чеха $C^0(B,\mathrm{Aut}\, F)$:

  $u_{\alpha\beta}'(x) = f_{\alpha}(x)\circ u_{\alpha\beta}(x) \circ f_{\beta}(x)^{-1}$,

где $\{f_{\alpha}: U_{\alpha}\to \mathrm{Aut}\, F\}$ — 0-коцепь Чеха, действующая на 1-коцикл Чеха $\{u_{\alpha\beta}: U_{\alpha}\cap U_{\beta}\to \mathrm{Aut}\, F\}$. 1-коциклы называются когомологичными, если они лежат в одной орбите этого действия.)

• Для любого локально тривиального расслоения $\pi:X\to B$ и непрерывного отображения $f:B'\to B$ индуцированное расслоение $f^*(\pi)$ является локально тривиальным.

Вариации и обобщения

• Локально тривиальные расслоения являются частным случаем
  • расслоений Гуревича и
  • расслоений Серра.

• Если пространства $E, B, F$ — гладкие (дифференцируемые) многообразия, отображение $\pi$ — гладкое и допускающее тривиализующий атлас с гладкими отображениями тривиализации, то само расслоение называется гладким расслоением.
• Расслоение называется голоморфным, если пространства $E, B, F$ — комплексные многообразия, отображение $\pi$ — голоморфное и существует тривиализующий атлас с голоморфными отображениями тривиализации.
• Главное расслоение.

Литература

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7