Локально тривиальное расслоение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Локально тривиальное расслоениерасслоение, которое локально выглядит как прямое произведение.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть E, B и F суть топологические пространства. Сюрьективное отображение \pi \colon E\to B называется локально тривиальным расслоением пространства E над базой B со слоем F  если для всякой точки базы x\in B существует окрестность U \sub B, над которой расслоение тривиально. Последнее означает, что существует гомеоморфизм \phi\colon \pi^{-1}(U)\to U\times F, такой что коммутативна диаграмма

Local triviality condition.

Здесь \mathrm{proj_1}:\, U\times F \to U — проекция произведения пространств на первый сомножитель.

Пространство E также называется тотальным пространством расслоения или расслоенным пространством.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Сечение расслоения — это отображение s: B \to E, такое что \pi \circ s = \mathrm{id}_B. Вообще говоря, не каждое расслоение имеет сечение. Например, пусть M — многообразие, а E \to M — подрасслоение векторов единичной длины в касательном расслоении TM. Тогда сечение расслоения E — это векторное поле без нулей на M. Теорема о причёсывании ежа показывает, что на сфере такого поля не существует.
  • Множество F_x = \pi^{-1}\{x\} называется слоем расслоения \pi над точкой x\in B. Каждый слой гомеоморфен пространству F, поэтому пространство F называется общим (или модельным) слоем расслоения \pi,
  • Гомеоморфизм \varphi, отождествляющий ограничение расслоения \pi над окрестностью точки x с некоторым тривиальным расслоением, называется локальной тривиализацией расслоения \pi над окрестностью точки x.
  • Если \{U_{\alpha}\} — покрытие базы B открытыми множествами, и \varphi_{\alpha}:\pi^{-1}(U_{\alpha}) \to U_{\alpha}\times F — соответствующие им отображения тривиализации, тогда семейство \{(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})\} называется тривиализующим атласом расслоения \pi:E\to B.
  • Предположим локально тривиальное расслоение \pi:E\to B снабжено покрытием \{U_\alpha\} базы B с выделенной тривиализацией \phi_\alpha : U_\alpha\times F\to \pi^{-1}(U_\alpha) и сужение любого отображения сличения \phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta на слой принадлежит некоторой подгруппе G группы всех автоморфизмов F. Тогда \pi называется локально тривиальным расслоением со структурной группой G.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Тривиальное расслоение, то есть проекция B\times F\to B на первый сомножитель.
  • Любое накрытие является локально тривиальным расслоением с дискретным слоем.
  • Касательное, кокасательное и тензорные расслоения над произвольным многообразием локально тривиальны.
  • Если на пространстве E задано непрерывное свободное действие группы G, то естественное отображение E\to E/G является локально тривиальным расслоением. Расслоения такого типа называются главными.
  • Лист Мёбиуса — пространство нетривиального расслоения над окружностью.
  • Расслоение Хопфа — это нетривиальное расслоение S^3 \to S^2=S^3/S^1. Оно не имеет сечений, так как оно является главным расслоением со структурной группой U(1), а любое главное расслоение, допускающее сечение, тривиально.
  • Сконструировать расслоение можно, задав произвольно его базу (пространство B), общий слой (пространство F) и отображения перехода (1-коцикл Чеха \{u_{\alpha\beta}: U_{\alpha}\to \mathrm{Aut}\, F\}) для какого-нибудь открытого покрытия пространства B. Тогда пространство E формально можно получить как множество троек вида \{(\alpha, x, f_{\alpha}):\,x\in U_{\alpha},\, f_{\alpha}\in F\} с правилом отождествления:
(\alpha, x, f_{\alpha}) = (\beta, x, f_{\beta}), если f_{\beta} = u_{\beta\alpha}f_{\alpha}

Свойства[править | править вики-текст]

  • Для локально тривиальных расслоений верна теорема о накрывающей гомотопии. Пусть заданы \pi: E\to B — локально тривиальное расслоение, отображения f\colon M\to B и g\colon M \to E, так что f = \pi \circ g, и гомотопия \tilde g\colon M\times [0;1] \to B отображения g (\tilde g(m,0) = g(m)). Тогда существует гомотопия \tilde f\colon M\times [0;1] \to E отображения f, такая что диаграмма коммутативна
\begin{matrix}
M\times [0;1] \! && \stackrel{\tilde f}{\longrightarrow} \! && E \\
\\
  && \tilde g \searrow  && \downarrow \pi \\
\\
  &&  && B
\end{matrix}
  • Пусть имеется локально тривиальное расслоение E\to B со слоем F (иногда записываемое формально как F\to E \to B). Тогда последовательность гомотопических групп точна:
\dots \to \pi_2(F) \to \pi_2(E) \to \pi_2(B) \to \pi_1(F) \to \pi_1(E) \to \pi_1(B) \to \pi_0(F)
  • Отображения перехода удовлетворяют условию 1-коцикла Чеха:
Если x\in U_{\alpha}\cap U_{\beta}\cap U_{\gamma}, то u_{\beta\alpha}(x) = u_{\beta\gamma}(x)\circ u_{\gamma\alpha}(x).
  • Два расслоения над одной и той же базой и с одним и тем же общим слоем изоморфны тогда и только тогда, когда 1-коциклы Чеха, соответствующие им, когомологичны. (Отметим, что в случае, когда группа \mathrm{Aut}\, F некоммутативна, одномерные когомологии H^1(B,\mathrm{Aut}\, F) не образуют группу, а образуют множество, на котором действует (слева) группа 0-коцепей Чеха C^0(B,\mathrm{Aut}\, F):
    u_{\alpha\beta}'(x) = f_{\alpha}(x)\circ u_{\alpha\beta}(x) \circ f_{\beta}(x)^{-1},
где \{f_{\alpha}: U_{\alpha}\to \mathrm{Aut}\, F\} — 0-коцепь Чеха, действующая на 1-коцикл Чеха \{u_{\alpha\beta}: U_{\alpha}\cap U_{\beta}\to \mathrm{Aut}\, F\}. 1-коциклы называются когомологичными, если они лежат в одной орбите этого действия.)

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

См. Также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.