Квадратура круга Тарского

Круг и квадрат одинаковой площади

Квадрату́ра кру́га Та́рского — задача о равносоставленности круга и равновеликого квадрата.

Формулировка

Возможно ли разрезать круг на конечное число частей и собрать из них квадрат такой же площади?

Более формально: можно ли разбить круг на конечное количество попарно непересекающихся подмножеств и передвинуть их так, чтобы получить разбиение квадрата такой же площади на попарно непересекающиеся подмножества?

История

В 1925 году задача была сформулирована польско-американским математиком Альфредом Тарским.

В 1963 году был достигнут первый прогресс в решении задачи. Было доказано, что равное разложение невозможно получить разрезанием вдоль жордановых кривых, то есть если разбиение Тарского существует, то оно требует сложных фрактальных кусков, испещренных дырами и замысловато зазубренными краями.

В 1990 году возможность такого разбиения доказал венгерский математик Миклош Лацкович. Доказательство Лацковича опирается на аксиому выбора. Найденное разбиение состоит из примерно 10⁵⁰ частей, которые являются неизмеримыми множествами и границы которых не являются жордановыми кривыми. Для перемещения частей достаточно использовать только параллельный перенос, без поворотов и отражений. Однако доказательство Лачковича не было конструктивным, он лишь доказал, что разбиение можно сделать, но он не мог ни сказать, как построить части, ни каким-либо образом описать их.

В 2005 году Тревор Уилсон доказал, что существует требуемое разбиение, при котором части можно сдвигать параллельным переносом таким образом, чтобы они всё время оставались непересекающимися.

В 2017 году Эндрю Маркс и Спенсер Унгер нашли первое полностью конструктивное решение задачи Тарского с разбиением на 10²⁰⁰ борелевских кусков.

В 2021 году Мате, Ноэль и Пихурко улучшили свойства борелевских кусков, необходимых для конструктивного решения задачи Тарского. Хотя количество требуемых частей в новом решении осталось прежним (10²⁰⁰), найденные ими куски проще по форме и их намного легче визуализировать. Это открывает путь к дальнейшему упрощению разбиение и уменьшению числа кусков. Согласно предположению одного из авторов, должно быть разбиение Тарского из 22 кусков или меньше.

См. также

• Парадокс Банаха — Тарского
• Квадратура круга

Ссылки

• Hertel, Eike; Richter, Christian (2003), "Squaring the circle by dissection" (PDF), Beiträge zur Algebra und Geometrie, 44 (1): 47—55, MR 1990983 Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine.
• Laczkovich, Miklós (1990), "Equidecomposability and discrepancy: a solution to Tarski's circle squaring problem", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 404: 77—117, doi:10.1515/crll.1990.404.77, MR 1037431{{citation}}: Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) (ссылка).
• Laczkovich, Miklós (1994), "Paradoxical decompositions: a survey of recent results", Proc. First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992), Progress in Mathematics, vol. 120, Basel: Birkhäuser, pp. 159—184, MR 1341843{{citation}}: Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) (ссылка).
• Tarski, Alfred (1925), "Probléme 38", Fundamenta Mathematicae, 7: 381.
• Wilson, Trevor M. (2005), "A continuous movement version of the Banach–Tarski paradox: A solution to De Groot's problem", Journal of Symbolic Logic, 70 (3): 946—952, doi:10.2178/jsl/1122038921, MR 2155273.