Фрактал

Множество Мандельброта — классический образец фрактала

Фрактальная форма подвида капусты Романеско (Brassica oleracea)

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической.

Есть и другие определения фракталов.

Фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.

Фрактал — самоподобное множество нецелой размерности.

Термин

Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:

• Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
• Является самоподобной или приближённо самоподобной.
• Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

История

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

Классификация

• Алгебраические фракталы
  • Множество Мандельброта
  • Множество Жюлиа
  • Бассейны (фракталы) Ньютона
  • Биоморфы
  • Треугольники Серпинского

• Геометрические фракталы
  • Кривая Коха (снежинка Коха)
  • Кривая Леви
  • Кривая Гильберта
  • Ломаная (кривая) дракона (Фрактал Хартера-Хейтуэя)
  • Множество Кантора
  • Треугольник Серпинского
  • Ковёр Серпинского
  • Дерево Пифагора
  • Круговой фрактал
• Стохастические фракталы
• Рукотворные фракталы
• Природные фракталы
• Детерминированные фракталы
• Недетерминированные фракталы

Примеры

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

• множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины.
• треугольник Серпинского и ковёр Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости.
• губка Менгера — аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;
• примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции.
• кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
• кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата.
• траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

Построение кривой Коха

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены три первых шага этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:

• кривая дракона,
• кривая Коха,
• кривая Леви,
• кривая Минковского,
• кривая Пеано.

С помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.

Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть $\psi_i,\,i=1,\dots,n$ — сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости: $\Psi\colon K\mapsto \cup_{i=1}^n\psi_i(K)$

Можно показать, что отображение Ψ является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения $\psi_i,\,i=1,\dots,n$ — отображения подобия, а n — число звеньев генератора.

Для треугольника Серпинского n = 3 и отображения ψ₁, ψ₂, ψ₃ — гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении Ψ.

В случае, когда отображения ψ_i — преобразования подобия с коэффициентами r_i > 0, размерность s фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения $r_1^s+r_2^s+\dots+r_n^s=1$. Так, для треугольника Серпинского получаем s = ln 3 / ln 2.

По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения Ψ, мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.

Фракталы в комплексной динамике

Множество Жюлиа́

Ещё одно множество Жюлиа

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу 20 века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Пусть F(z) — многочлен, z₀ — комплексное число. Рассмотрим следующую последовательность: z₀, z₁=F(z₀), z₂=F(z₁), z₃=F(z₂), ...

Нас интересует поведение этой последовательности при стремлении n к бесконечности. Эта последовательность может:

• стремиться к бесконечности,
• стремиться к конечному пределу,
• демонстрировать в пределе циклическое поведение, например: z₁, z₂, z₃, z₁, z₂, z₃, ...
• вести себя хаотично, то есть не демонстрировать ни один из трёх упомянутых типов поведения.

Множества значений z₀, для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.

Так, множество Жюлиа — множество точек бифуркации для многочлена F(z)=z²+c (или другой похожей функции), то есть тех значений z₀, для которых поведение последовательности {z_n} может резко меняться при сколь угодно малых изменениях z₀.

Другой вариант получения фрактальных множеств — введение параметра в многочлен F(z) и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность {z_n} демонстрирует определённое поведение при фиксированном z₀. Так, множество Мандельброта — это множество всех $c\in\mathbb{C}$, при которых {z_n} для F(z)=z²+c и z₀ не стремится к бесконечности.

Ещё один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.

Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления {z_n} к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n, при котором |z_n| превысит фиксированную большую величину A.

Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

Стохастические фракталы

Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

• траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
• граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
• эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.
• различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

Фрактальная монотипия, или стохатипия — направления в изобразительном искусстве, заключающиеся в получении изображения случайного фрактала.

В природе

Вид спереди на трахею и бронхи

• Бронхиальное дерево
• Сеть кровеносных сосудов
• Деревья

Применение

Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

Литература

Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста:

• неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественное само себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…»)
• неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был весёлый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»).

В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна:

• венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (225 стихотворений), венок венков венков сонетов (2455 стихотворений)
• «рассказы в рассказе» («Книга тысячи и одной ночи», Я. Потоцкий «Рукопись, найденная в Сарагосе»)
• предисловия, скрывающие авторство (У. Эко «Имя розы»)
• Т. Стоппард «Розенкранц и Гильденстерн мертвы» (сцена с представлением перед королём).
• К. Прист «Лотерея» (иногда встречается под названием «Подтверждение»): молодой писатель сочиняет роман о своем двойнике из параллельного мира, который в свою очередь пишет книгу о своем двойнике из параллельной Вселенной, сочиняющем…
• Б. Олдисс «Доклад о вероятности А»

В семантических и нарративных фракталах автор рассказывает о бесконечном подобии части целому:

• Х. Л. Борхес «В кругу развалин»
• Х. Кортасар «Жёлтый цветок»
• Ж. Перек «Кунсткамера»

Радиотехника

Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск.

Информатика

Сжатие изображений

Фрактальное дерево

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован^{[источник не указан 465 дней]} фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерная графика

Ещё одно фрактальное дерево

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Экономика и финансы

А. А. Алмазов в своей книге «Фрактальная теория. Как поменять взгляд на рынки» предложил способ использования фракталов используются при анализе биржевых котировок, в частности — на рынке Форекс.

Галерея

• 
• 
• 
• 
• 

См. также

• Квазифрактал
• Мультифрактал
• wikibooks: ru: Размер и размерность
• Алгоритм фрактального сжатия
• Теорема о рекурсивных системах
• Фрактальная гомогенность
• Измерение длины береговой линии

Литература

• А. А. Кириллов Повесть о двух фракталах — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2007.
• Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
• Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.
• Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.
• Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
• Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.
• Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая — Ижевск: «РХД», 2001.
• Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории.
• Мандельброт Бенуа, Ричард Л. Хадсон (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets — М.: «Вильямс», 2006. — С. 400. — ISBN 5-8459-0922-8.

Ссылки

• Всё о фракталах — десятки статей посвященные фракталам, картинная галерея, и программы для создания
• Фрактальные множества — Очень подробная и качественная статья, начиная с комплексных чисел (Санкт-Петербургский государственный университет: ПМ-ПУ)
• Красивая жизнь комплексных чисел
• Фракталы и теория хаоса
• Доступно о фракталах
• Фракталы и turtle-графика
• Фракталы, мультифракталы и не только
• Обаяние самоподобия
• «Фракталы. Поиски новых размерностей» (англ. Fractals. Hunting The Hidden Dimension) — научно-популярный фильм, снятый в 2008 г.