Фрактал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Множество Мандельброта — классический образец фрактала
Фрактальная форма кочана капусты сорта Романеско (Brassica oleracea)

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — математическое множество, обладающее свойством самоподобия, то есть однородности в различных шкалах измерения (любая часть фрактала подобна всему множеству целиком). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев.

Термин[править | править вики-текст]

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференциируемых функций (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры.

Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:

  • Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
  • Является самоподобным или приближённо самоподобным.
  • Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система, система альвеол человека или животных.

Примеры[править | править вики-текст]

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике[править | править вики-текст]

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых[править | править вики-текст]

Построение кривой Коха

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены четыре первых шага этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:

С помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.

Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений[править | править вики-текст]

Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть \psi_i,\,i=1,\dots,n — сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости: \Psi\colon K\mapsto \cup_{i=1}^n\psi_i(K)

Можно показать, что отображение \Psi является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения \psi_i,\,i=1,\dots,n — отображения подобия, а n — число звеньев генератора.

Для треугольника Серпинского n=3 и отображения \psi_1, \psi_2, \psi_3 — гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении \Psi.

В случае, когда отображения \psi_i — преобразования подобия с коэффициентами r_i>0, размерность s фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения r_1^s+r_2^s+\dots+r_n^s=1. Так, для треугольника Серпинского получаем s=\ln3/\ln2.

По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения \Psi, мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.

Фракталы в комплексной динамике[править | править вики-текст]

Ещё одно множество Жюлиа

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу 20 века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Пусть F(z) — многочлен, z_0 — комплексное число. Рассмотрим следующую последовательность: z_0, z_1=F(z_0), z_2=F(F(z_0)) = F(z_1), z_3=F(F(F(z_0)))=F(z_2), ...

Нас интересует поведение этой последовательности при стремлении n к бесконечности. Эта последовательность может:

  • стремиться к бесконечности,
  • стремиться к конечному пределу,
  • демонстрировать в пределе циклическое поведение, например: z_1, z_2, z_3, z_1, z_2, z_3, ...
  • вести себя хаотично, то есть не демонстрировать ни один из трёх упомянутых типов поведения.

Множества значений z_0, для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.

Так, множество Жюлиа — множество точек бифуркации для многочлена F(z)=z_2+c (или другой похожей функции), то есть тех значений z_0, для которых поведение последовательности z_n может резко меняться при сколь угодно малых изменениях z_0.

Другой вариант получения фрактальных множеств — введение параметра в многочлен F(z) и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность z_n демонстрирует определённое поведение при фиксированном z_0. Так, множество Мандельброта — это множество всех c\in\mathbb{C}, при которых z_n для F(z)=z^2+c и z_0 не стремится к бесконечности.

Ещё один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.

Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления z_n к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n, при котором |z_n| превысит фиксированную большую величину A).

Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

Стохастические фракталы[править | править вики-текст]

Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

  • траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
  • граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
  • эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.
  • различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

Объекты, обладающие фрактальными свойствами, в природе[править | править вики-текст]

Вид спереди на трахею и бронхи

Применение[править | править вики-текст]

Естественные науки[править | править вики-текст]

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать ее при вычислении протяженности береговой линии.

Радиотехника[править | править вики-текст]

Фрактальные антенны[править | править вики-текст]

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск.

Информатика[править | править вики-текст]

Сжатие изображений[править | править вики-текст]

Фрактальное дерево

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован[1] фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерная графика[править | править вики-текст]

Ещё одно фрактальное дерево

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

Децентрализованные сети[править | править вики-текст]

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Экономика и финансы[править | править вики-текст]

А. А. Алмазов в своей книге «Фрактальная теория. Как поменять взгляд на рынки» предложил способ использования фракталов при анализе биржевых котировок, в частности — на рынке Форекс.

Bill Williams «Trading chaos. Applying expert techniques to maximize your profits» Фрактальная геометрия при анализе рынков.

Галерея[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • А. А. Кириллов Повесть о двух фракталах. — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2007.
  • Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
  • Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.
  • Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.
  • Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.
  • Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
  • Цицин Ф. А. Фрактальная вселенная // «Дельфис» — № 11(3) — 1997.
  • Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.
  • Маврикиди Ф. И. Фракталы: постигая взаимосвязанный мир // «Дельфис» — № 23(3) — 2000.
  • Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001.
  • Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории.
  • Мандельброт Бенуа, Ричард Л. Хадсон (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 400. — ISBN 5-8459-0922-8
  • Красивая жизнь комплексных чисел // Hard’n’Soft, № 9, 2002. Стр. 90.
  • М. Г. Иванов, «Размер и размерность» // «Потенциал», август 2006.
  • Маврикиди Ф. И. Фрактальная математика и природа перемен // «Дельфис» — № 54(2) — 2008.

Ссылки[править | править вики-текст]