Неприводимый многочлен

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные (неконстантные) многочлены. В кольце многочленов неприводимые многочлены играют роль сходную с простыми числами в кольце целых чисел.

[править] Общее определение

Неприводимый многочлен над полем k ― многочлен p(x₁,x₂,..,x_n) от n переменных над полем k, являющийся простым элементом кольца k[x₁,x₂,..,x_n], то есть непредставимый в виде произведения p = qr, где q и r ― многочлены с коэффициентами из k, отличные от констант. Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени, например любой многочлен вида

p(x₁,x₂,..,x_{n − 1}) + x_n

абсолютно неприводим.

[править] Свойства

• Кольцо многочленов k[x₁,x₂,..,x_n] факториально: любой многочлен разлагается в произведение неприводимых многочленов, причем это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей.
• Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причем многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант.
• Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен сколь угодно высокой степени; например, многочлен xⁿ + px + p, где n > 1 и p ― некоторое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна.
• Если k = F_q — конечное поле из q элементов, а n - натуральное число, то существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n из k[x].
• Предположим A ― целозамкнутое кольцо с полем частных k (например и ) и ― многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1, тогда p = qr в k[x], причем q и r имеют старший коэффициент 1, то .
• Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности . Если степень многочлена σ(p) совпадает со степенью многочлена p и σ(p) неприводим над полем частных области B, то не существует разложения p = qr, где и отличны от константы.
  • Например, многочлен p со старшим коэффициентом 1 прост в (и, следовательно, неприводим в ), если прост многочлен σ(p), полученный из p редукцией коэффициентов по модулю простого числа.

[править] Литература

• ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976;
• Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968;
• Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1―2, М., 1963.