Неравенство Брунна — Минковского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Брунна — Минковского — классическая теорема выпуклой геометрии:

Пусть K_0 и K_1 — компактные тела в n-мерном евклидовом пространстве. Рассмотрим сумму Минковского K_\lambda=(1-\lambda)K_0+\lambda K_1, \lambda\in[0,1], то есть множество точек, делящих отрезки с концами в любых точках множеств K_0 и K_1 в отношении \lambda к (1-\lambda). Тогда функция

f(\lambda)=\sqrt[n]{\mathop{\rm vol}K_\lambda}

есть вогнутая функция от \lambda.

Более того, функция f(\lambda) линейна в том и только в том случае, когда K_0 и K_1 гомотетичны.


Следствия[править | править вики-текст]

Теорема Бибербаха о максимальном свойстве шара:

В евклидовом пространстве среди всех тел данного диаметра, шар имеет наибольший объём.

Для доказательства теоремы достаточно применить неравенство Брунна — Минковского к данному телу W и к его центральносимметричной копии W'.

История[править | править вики-текст]

Теорема установлена Брунном (англ.) в 1887, уточнена и дополнена Минковским[1], обобщена на случай произвольных компактных тел Люстерником[2].

Литература[править | править вики-текст]

  1. Minkowski Hermann Geometrie der Zahlen. — Leipzig: Teubner, 1896.
  2. Lyusternik, Lazar A. (1935). «Die Brunn-Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen». Comptes Rendus (Doklady) de l'académie des Sciences de l'uRSS (Nouvelle Série) III: 55–58.