Параболические координаты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Параболические координаты — ортогональная система координат на плоскости, в которой координатные линии являются конфокальными параболами. Трёхмерный вариант этой системы координат получается при вращении парабол вокруг их оси симметрии.

Параболические координаты нашли многочисленные применения в математической физике, в частности, в теории эффекта Штарка и задаче о потенциале вблизи угла.

Двумерные параболические координаты[править | править вики-текст]

Parabolic coords.svg

Двумерные параболические координаты (\sigma,\;\tau) определяются выражениями

 \left \{ \begin{matrix} x=\sigma\tau \\ y=\frac{1}{2}(\tau^2-\sigma^2) \end{matrix} \right.

Поверхности постоянной \sigma являются конфокальными параболами

2y=\frac{x^2}{\sigma^2}-\sigma^2

расширяющимися вверх (вдоль луча +y), а поверхности постоянной \tau — это конфокальные параболы

2y=-\frac{x^2}{\tau^2}+\tau^2

расширяющиеся вниз (вдоль луча -y). Фокусы всех парабол расположены в начале коорднат.

Дифференциальные характеристики двумерных координат[править | править вики-текст]

Коэффициенты Ламэ для параболических координат равны

H_\sigma=H_\tau=\sqrt{\sigma^2+\tau^2}.

Таким образом, элемент площади равен

dS=(\sigma^2+\tau^2)\,d\sigma\,d\tau,

а лапласиан равен

\Delta\Phi=\frac{1}{\sigma^2+\tau^2}\left(\frac{\partial^2\Phi}{\partial\sigma^2}+\frac{\partial^2\Phi}{\partial\tau^2}\right).

Прочие дифференциальные операторы могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.

Трёхмерные параболические координаты[править | править вики-текст]

Координатные поверхности для трёхмерных параболических координат. Красный параболоид соответствует \scriptstyle{\tau=2}, синий параболоид соответствует \scriptstyle{\sigma=1}, а жёлтая полуплоскость соответствует \scriptstyle{\varphi=-60^\circ}. Три поверхности пересекаются в точке \scriptstyle{P} (отмеченной чёрной сферой), имеющей декартовы координаты приблизительно \scriptstyle{(1{,}0,\;-1{,}732,\;1{,}5)}.

На основе двумерных параболических координат строятся два типа трёхмерных координат. Первые получаются простым проектированием на плоскость XY вдоль оси z и называются цилиндрические параболические координаты.

Вторая система координат, также называемая «параболические координаты», строится на основе параболоидов вращения, получаемых вращением парабол вокруг их оси симметрии

\begin{cases}
x=\sigma\tau\cos\varphi, \\
y=\sigma\tau\sin\varphi, \\
z=\dfrac{1}{2}(\tau^2-\sigma^2).
\end{cases}

Ось параболоидов совпадает с осью z, так как вокруг неё производится вращение. Азимутальный угол \varphi определяется как

\mathrm{tg}\,\varphi=\frac{y}{x}.

Поверхности постоянной \sigma являются конфокальными параболоидами

2z=\frac{x^2+y^2}{\sigma^2}-\sigma^2

направленными вверх (вдоль луча +z), а поверхности постоянной \tau — это конфокальные параболоиды

2z=-\frac{x^2+y^2}{\tau^2}+\tau^2

направленные вниз (вдоль луча -z). Фокусы всех параболоидов расположены в начале координат.

Дифференциальные характеристики трёхмерных координат[править | править вики-текст]

Коэффициенты Ламэ в трёхмерном случае:

H_\sigma=\sqrt{\sigma^2+\tau^2},
H_\tau=\sqrt{\sigma^2+\tau^2},
H_\varphi=\sigma\tau.

Как видно, коэффициенты H_\sigma и H_\tau совпадают с двумерным случаем. Элемент объёма равен

dV=h_\sigma h_\tau h_\varphi=\sigma\tau(\sigma^2+\tau^2)\,d\sigma\,d\tau\,d\varphi,

а лапласиан равен

\nabla^2\Phi=\frac{1}{\sigma^2+\tau^2}\left[\frac{1}{\sigma}\frac{\partial}{\partial\sigma}\left(\sigma\frac{\partial\Phi}{\partial\sigma} \right)+\frac{1}{\tau}\frac{\partial}{\partial\tau}\left(\tau\frac{\partial\Phi}{\partial\tau}\right)\right]+\frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2\Phi}{\partial\varphi^2}.

Прочие дифференциальные операторы, такие как дивергенция или ротор могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.

Символы Кристоффеля второго рода:


\Gamma_{11}^1=\Gamma_{12}^2=\Gamma_{21}^2=-\Gamma_{22}^1=\frac{\sigma}{\sigma^2+\tau^2},

\Gamma_{22}^2=\Gamma_{12}^1=\Gamma_{21}^1=-\Gamma_{11}^2=\frac{\tau}{\sigma^2+\tau^2},

\Gamma_{23}^3=\Gamma_{32}^3=\frac{1}{\tau},\ 
\Gamma_{33}^1=-\frac{\sigma \tau ^2}{\sigma^2+\tau^2},\ 
\Gamma_{33}^2=-\frac{\sigma ^2\tau }{\sigma^2+\tau^2},\ 
\Gamma_{13}^3=\Gamma_{31}^3=\frac{1}{\sigma}.

Остальные символы равны нулю.



Обратные преобразования[править | править вики-текст]

Переход от декартовых координат (x,\;y,\;z) к параболическим (\eta,\;\xi,\;\varphi) осуществляется по формулам:

\begin{cases}
\eta=-z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \\
\xi=z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \\
\varphi=\mathrm{arctg}\dfrac{y}{x},
\end{cases}

при этом \eta\geqslant 0,\quad\xi\geqslant 0.

\begin{vmatrix}d\eta \\ d\xi \\ d\varphi\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} & \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} & -1+\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\
\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} & \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} & 1 +\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\
\dfrac{-y}{x^2+y^2} & \dfrac{x}{x^2+y^2} & 0
\end{vmatrix}
\cdot
\begin{vmatrix}dx \\ dy \\ dz\end{vmatrix}.

При \varphi=0 получаем ограничение координат на плоскость XZ:

\eta=-z+\sqrt{x^2+z^2},
\xi=z+\sqrt{x^2+z^2}.

Линия уровня \eta=c:

z|_{\eta=c}=\frac{x^2}{2c}-\frac{c}{2}.

Это парабола, фокус которой при любом c расположен в начале координат.

Аналогично при \xi=c получаем

z|_{\xi=c}=\frac{c}{2}-\frac{x^2}{2c}.

Координатные параболы пересекаются в точке

P:\left(\sqrt{bc},\;\frac{b-c}{2}\right).

Пара парабол пересекается в двух точках, но при \varphi=0 точка оказывается заключена в полуплоскости x>0, так как x<0 соответствует \varphi=\pi.

Найдём коэффициенты наклоны касательных к параболам в точке P:

\frac{dz_c}{dx}=\frac{x}{c}=\frac{\sqrt{bc}}{c}=\sqrt{\frac{b}{c}}=s_c,
\frac{dz_b}{dx}=-\frac{x}{b}=\frac{-\sqrt{bc}}{b}=-\sqrt{\frac{c}{b}}=s_b;
s_c s_b=-\sqrt{\frac{b}{c}}\sqrt{\frac{c}{b}}=-1.

Так как произведение коэффициентов равно −1, то параболы перпендикулярны в точке пересечения. Таким образом, параболические координаты оказываются ортогональными.

Пара (\xi;\;\eta) определяет координаты в полуплоскости. При изменении \varphi от 0 до 2\pi полуплоскость вращается вокруг оси z, в качестве координатных поверхностей получются параболоиды вращения и полуплоскости. Пара противоположных параболоидов определяет круг, а величина \varphi определяет полуплоскость, пересекающую круг в единственной точке. Её декартовы координаты равны:

\begin{cases}
x=\sqrt{\xi\eta}\cos\varphi, \\
y=\sqrt{\xi\eta}\sin\varphi, \\
z=\dfrac{1}{2}(\xi-\eta).
\end{cases}
\begin{vmatrix}dx \\ dy \\ dz\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\xi}{\eta}}\cos\varphi & \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\eta}{\xi}}\cos\varphi & -\sqrt{\xi\eta}\sin\varphi \\
\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\xi}{\eta}}\sin\varphi & \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\eta}{\xi}}\sin\varphi & \sqrt{\xi\eta}\cos\varphi \\
-\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & 0
\end{vmatrix}
\cdot
\begin{vmatrix} d\eta \\ d\xi \\ d\varphi\end{vmatrix}.

Внешние ссылки[править | править вики-текст]

Weisstein, Eric W. Parabolic Coordinates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.