Цилиндрические параболические координаты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Координатные поверхности в координатах параболического цилиндра.

Цилиндрические параболические координаты (координаты параболического цилиндра) (u,\;v,\;z) — система координат, обобщающая параболические координаты на трёхмерный случай путём добавления третьей (декартовой) координаты \ z, то есть аппликаты.

Существует несколько вариантов ориентации этих координат. Наиболее распространённой является ориентация соответствующая

\begin{cases}
x=\dfrac{c}{2}(u^2-v^2), \\
y=cuv, \\
z=z,
\end{cases}

где c>0 — размерный множитель.

Поверхности уровня u=\mathrm{const} и v=\mathrm{const} суть параболические цилиндры, образующие которых параллельны оси z.

Связь с другими системами координат[править | править вики-текст]

Прямоугольная система координат (x,\;y,\;z)[править | править вики-текст]

\begin{cases}
x=\dfrac{c}{2}(u^2-v^2), \\
y=cuv, \\
z=z,
\end{cases}

Цилиндрическая система координат (\rho,\;\varphi,\;z)[править | править вики-текст]

\begin{cases}
\rho=\dfrac{c}{2}(u^2+v^2), \\
\varphi=\mathrm{arctg}\left(\dfrac{2uv}{u^2-v^2}\right), \\
z=z.
\end{cases}

Коэффициенты Ламе[править | править вики-текст]

Коэффициенты Ламе в данных координатах имеют следующий вид:

\begin{cases}
H_u=c\sqrt{u^2+v^2}, \\
H_v=c\sqrt{u^2+v^2}, \\
H_z=1.
\end{cases}

Выражение основных дифференциальных операторов[править | править вики-текст]

Градиент[править | править вики-текст]

\mathrm{grad}\,F(u,\;v,\;z)=\frac{1}{c\sqrt{u^2+v^2}}\left(\frac{\partial F}{\partial u}\vec{e}_u+\frac{\partial F}{\partial v}\vec{e}_v \right)+\frac{\partial F}{\partial z}\vec{e}_z.

Дивергенция[править | править вики-текст]

\mathrm{div}\vec A(u,\;v,\;z)=\frac{1}{c(u^2+v^2)}\left[\frac{\partial }{\partial u}\left(\sqrt{u^2+v^2}A_u\right)+\frac{\partial}{\partial v}\left(\sqrt{u^2+v^2}A_v\right)\right]+\frac{\partial A_z}{\partial z}.

Ротор[править | править вики-текст]

\mathrm{rot}\,\vec A=\frac{1}{c\sqrt{u^2+v^2}}\left[\frac{\partial}{\partial v}A_z-\frac{\partial}{\partial z}(c\sqrt{u^2+v^2}A_v)\right]\vec e_u+\frac{1}{c\sqrt{u^2+v^2}}\left[\frac{\partial}{\partial z}(c\sqrt{u^2+v^2}A_u)-\frac{\partial}{\partial u}A_z\right]\vec e_v+
+\frac{1}{c(u^2+v^2)}\left[\frac{\partial}{\partial u}(c\sqrt{u^2+v^2}A_v)-\frac{\partial}{\partial v}(c\sqrt{u^2+v^2}A_u)\right]\vec e_z.

Лапласиан[править | править вики-текст]

\Delta F(u,\;v,\;z)=\frac{1}{c^2(u^2+v^2)}\left[\frac{\partial^2 F}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial v^2}\right]+\frac{\partial^2 F}{\partial z^2}.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]