Периодическая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Графики синуса и косинуса — периодических функций с периодом T = 2\pi.

Периоди́ческая фу́нкцияфункция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.

Говоря более формально, функция называется периодической, если существует такое число T>0 (период), что на всей области определения функции выполняется равенство f(x)=f(x+T).

Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство f(x)=f(x+nT), где n - любое целое число.

Все тригонометрические функции являются периодическими.

Формальное определение[править | править вики-текст]

Пусть M есть абелева группа (обычно предполагается M=(\R,+) — вещественные числа с операцией сложения или (\mathbb C,+) — комплексные числа). Функция f: M \to N (где N — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом T \not= 0 , если справедливо

f(x+T) = f(x), \quad \forall x \in M.

Если это равенство не выполнено ни для какого T \in M,\, T \not=0 , то функция f называется апериоди́ческой.

Если для функции f: \mathbb C \to N существуют два периода T_1, T_2\not= 0, отношение которых не равно вещественному числу, то есть \frac{T_1}{T_2} \not\in \mathbb{R}, то f называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения f на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на T_1, T_2.

Замечание[править | править вики-текст]

Период функции определён неоднозначно. В частности, если T — период, то и любой элемент T' вида T' = \underbrace{T+\cdots+T}_n (или T' = n T, если в области определения функции определена операция умножения), где n \in \mathbb{N} — произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов \{T, T>0, T\in\mathbb{R}\} имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом 2\pi , так как
\sin( x + 2\pi) = \sin x,\; \cos( x + 2\pi) = \cos x,\quad \forall x \in \mathbb{R}.
  • Функция, равная константе f(x) = \mathrm{const}, является периодической, и любое ненулевое число является её периодом. Основного периода функция не имеет.
  • Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.
  • Функция f(x) = x^2,\; x \in \mathbb{R} является апериодической.

Некоторые особенности периодических функций[править | править вики-текст]

  • Сумма двух функций с соизмеримыми периодами T_1 и T_2 не всегда является функцией с основным периодом, равным наименьшему общему кратному T_1 и T_2 (однако просто периодом это число будет являться). Например, у функции f(x)=\sin(2x)-\sin(3x) основной период равен 2\pi, у функции g(x)=\sin(3x) — 2\pi/3 периода есть, а у их суммы f(x)+g(x)=\sin(2x)-2p/3 основной период, очевидно, равен \pi.
  • Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией. Например, функция f(x) из предыдущего примера и функция g(x)=-f(x) имеют несоизмеримые периоды, но их сумма равна константе, а значит, является периодической функцией (пример некорректный, если у f(x) период T, то у -f(x) тоже период T, значит они соизмеримы).
  • Существуют периодические функции, не равные константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа. Например, у функции f(x), принимающей значения 1 при алгебраическом x и 0 в остальных случаях, любое алгебраическое число является периодом, а среди алгебраических чисел есть и несоизмеримые.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]