Категория метрических пространств

Категория метрических пространств или Met — категория, объектами которой являются метрические пространства, а морфизмами — короткие отображения. (Поскольку композиция из двух коротких отображений является коротким, эти объекты и морфизмы действительно образуют категорию.)

Начало изучению этой категории было дано Джоном Исбелом.

Стрелки

Мономорфизмы в Met являются инъективными короткими отображениями. Эпиморфизмы — короткие отображения с везде плотным образом. Изоморфизмы — изометрии.

Например, включение рациональных чисел в вещественные числа является мономорфизмом и эпиморфизмом, но не изоморфизмом.

Пустое метрическое пространство является начальным объектом Met; любое одноточечное метрическое пространство является терминальным объектом. Поскольку начальный объект и конечные объекты различаются, в Met нет нулевых объектов.

Инъективные объекты в Met называются инъективными метрическими пространствами. Инъективные метрические пространства были введены и изучены сначала Aronszajn & Panitchpakdi (1956), до изучения Met как категории; они также могут быть определены внутренне в терминах свойства Хелли их метрических шаров, и из-за этого альтернативного определения их назвали гипервыпуклыми пространствами. Любое метрическое пространство имеет наименьшее инъективное метрическое пространство, в которое оно может быть встроено изометрически, называемое его инъективной оболочкой.

Произведения

Произведение конечного множества метрических пространств в Met является прямым произведением пространств с расстоянием в пространстве произведений определяется как сумма расстояний в координатных пространствах.

Произведение бесконечного множества метрических пространств может не существовать, поскольку расстояния в базовых пространствах могут не иметь супремума. То есть, Мет не является полной категорией, но она конечно замкнута. В Met нет копроизведения .

Вариации и обобщения

Met не единственная категория, чьи объекты являются метрическими пространствами; другие включают категорию равномерно непрерывных функций, категорию липшицевых функций и категорию квазилипшицевых отображений. Короткие отображения являются как равномерно непрерывными, так и липшицевыми, с постоянной Липшица не более единицы.

Также оказывается удобно расширить категорию метрических пространств, разрешив например расстояниям принимать значение $\infty$ или переходу к преметрическим пространствам, то есть отказавшись от нереавенства треугольника и симметрии для метрики.

Ссылки

• Aronszajn, N.; Panitchpakdi, P. (1956), "Extensions of uniformly continuous transformations and hyperconvex metric spaces", Pacific Journal of Mathematics, 6: 405—439, doi:10.2140/pjm.1956.6.405
• Deza, Michel Marie; Deza, Elena (2009), Encyclopedia of Distances ,
• Isbell, J. R. (1964), "Six theorems about injective metric spaces", Comment. Math. Helv., 39: 65—76, doi:10.1007/BF02566944