Произведение (теория категорий)

Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.

Определение

Пусть $X$ — объект категории $C$. Предположим, что задано $\{X_i\}_{i \in I}$ — индексированное семейство (не обязательно различных) объектов категории $C$ и семейство морфизмов $\pi_i\colon X \to X_i$. Объект $X$ вместе с семейством морфизмов $\{{\pi_i}\}_{i \in I}$ является произведением семейства объектов $\{X_i\}_{i \in I}$, если для любого объекта $Y\in C$ и любого семейства морфизмов $f_i\colon\, Y \to X_i$ существует единственный морфизм $f\colon\, Y\to X$, для которого следующая диаграмма:

коммутативна для каждого $i \in I$ (то есть $\pi_i \circ f = f_i$). Морфизмы $\pi_i$ называются каноническими проекциями.

Приведенное определение равносильно следующему:

Объект $X$ вместе с семейством проекций $\{\pi_i\}_{i \in I}$ является произведением семейства объектов $\{X_i\}_{i \in I}$ тогда и только тогда, когда для любого объекта $Y\in C$ отображение $Hom_{C}(Y,X) \rightarrow \prod_{i\in I} Hom_{C}(Y,X_i)$ биективно.

Произведение двух объектов обычно обозначают $X_1 \times X_2$, при этом диаграмма принимает вид

Морфизм $f$ при этом иногда обозначается $\lang f_1,f_2 \rang$.

Единственность результата операции $\lang -,- \rang$ можно альтернативно выразить как равенство $\lang \pi_1 \circ h,\pi_2 \circ h \rang = h$, верное для любых $h$.

Примеры

• В категории Set (категории множеств) категорное произведение совпадает с декартовым.
• В категории топологических пространств произведению пространств соответствует пространство, носитель которого является декартовым произведением носителей сомножителей, а топология определяется как произведение их топологий.
• В категории групп произведение групп определяется как их прямое произведение.
• Частично упорядоченное множество может рассматриваться как категория, причём морфизм из $a$ в $b$ существует тогда и только тогда (по определению), когда $a \geqslant b$. При этом произведением семейства линейно упорядоченных объектов является их наибольшая нижняя грань, а копроизведением — наименьшая верхняя грань.

Свойства

• Если произведение объектов существует, то оно единственно с точностью до изоморфизма.
• Коммутативность: $a \times b \simeq b \times a.$
• Ассоциативность: $(a\times b)\times c \simeq a\times (b\times c)$
• Если в категории существует терминальный объект $\ 1$, то $a \times 1 \simeq 1 \times a \simeq a.$
• Категория, в которой определено произведение любых двух объектов и имеется терминальный объект, является симметричным моноидом.

Дистрибутивность

В общем случае существует канонический морфизм $X\times Y+X\times Z \to X\times(Y+Z)$, где плюс обозначает копроизведение объектов. Это следует из существования канонических проекций и вложений и из коммутативности следующей диаграммы:

Свойство универсальности для $X\times(Y+Z)$ гарантирует при этом существование искомого морфизма. Категория называется дистрибутивной, если в ней этот морфизм является изоморфизмом.

Матрица преобразований

Любой морфизм

$f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j$

порождает множество морфизмов

$f_{ij} \colon a_i \to b_j$

задаваемых по правилу $f_{ij} = \pi_j \circ f \circ \imath_i$ и называемых матрицей преобразования. Обратно, любая матрица преобразования $f_{ij} \colon a_i \to b_j$ задаёт единственный соответствующий морфизм $\scriptstyle f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j.$ Если в категории существует нулевой объект $0,$ для которого для любого объекта $x$ существует единственный морфизм $d_x\colon x \to 0$ и единственный морфизм $c_x\colon 0\to x$, то матрица преобразования $f_{ij} \colon a_i \to a_j$, задаваемая по правилу

$f_{ij} = \left\{ \begin{matrix} c_{j} \circ d_{i},~ i\ne j \\ id_i,~ i=j \end{matrix} \right.$

называется единичной матрицей.

Пример

В категории конечномерных векторных пространств $\mathcal{V}ect_f$ копроизведение пространств совпадает с их произведением и является их прямой суммой. В этом случае категорное и обычное понимание матрицы преобразования совпадают, так как любое конечномерное пространство можно разложить в прямую сумму одномерных. При этом матрица преобразования всего пространства задаётся через указание образов соответствующих базисных векторов и продолжение преобразования на всё пространство по линейности единственным образом.

См. также

• Копроизведение — двойственная произведению конструкция.
• Декартово замкнутая категория

Литература

• Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов = Introduction to the theory of categpries and functors. — М.: Мир, 1972. — С. 39. — 259 с.
• С. Мак Лейн Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].
• Жаринов В. В. Некоторые алгебро-геометрические методы в математической физике. — С. 8. — 82 с.