Произведение (теория категорий)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть задано \{X_i\}_{i \in I} — индексированное семейство (не обязательно различных) объектов категории C. Объект X категории C вместе с семейством морфизмов \pi_i\colon X \to X_i является произведением семейства объектов \{X_i\}_{i \in I}, если для любого объекта Y\in C и любого семейства морфизмов f_i\colon\, Y \to X_i существует единственный морфизм f\colon\, Y\to X, для которого следующая диаграмма:

Universal product of the product

коммутативна для каждого i \in I (то есть \pi_i \circ f = f_i). Морфизмы \pi_i называются каноническими проекциями.

Приведенное определение равносильно следующему:

Объект X вместе с семейством проекций \{\pi_i\}_{i \in I} является произведением семейства объектов \{X_i\}_{i \in I} тогда и только тогда, когда для любого объекта Y\in C отображение

\mathrm{Hom}_{C}(Y,X) \rightarrow \prod_{i\in I} \mathrm{Hom}_{C}(Y,X_i),\; f\mapsto \prod_{i\in I} (\pi_i \circ f)

биективно.

Произведение двух объектов обычно обозначают X_1 \times X_2, при этом диаграмма принимает вид

Universal product of the product

Морфизм f при этом иногда обозначается \lang f_1,f_2 \rang.

Единственность результата операции \lang -,- \rang можно альтернативно выразить как равенство \lang \pi_1 \circ h,\pi_2 \circ h \rang = h, верное для любых h.[1]

Примеры[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если произведение объектов существует, то оно единственно с точностью до изоморфизма.
  • Коммутативность: a \times b \simeq b \times a.
  • Ассоциативность: (a\times b)\times c \simeq a\times (b\times c)
  • Если в категории существует терминальный объект \ 1, то a \times 1 \simeq 1 \times a \simeq a.
  • Приведённые выше свойства формально сходны со свойствами коммутативного моноида. Более точно, категория, в которой определено произведение любых двух объектов и имеется терминальный объект, является симметричной моноидальной категорией.

Дистрибутивность[править | править вики-текст]

В общем случае существует канонический морфизм X\times Y+X\times Z \to X\times(Y+Z), где плюс обозначает копроизведение объектов. Это следует из существования канонических проекций и вложений и из коммутативности следующей диаграммы:

Product-Coproduct Distributivity.png

Свойство универсальности для X\times(Y+Z) гарантирует при этом существование искомого морфизма. Категория называется дистрибутивной, если в ней этот морфизм является изоморфизмом.

Матрица преобразований[править | править вики-текст]

Любой морфизм

f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j

порождает множество морфизмов

f_{ij} \colon a_i \to b_j

задаваемых по правилу f_{ij} = \pi_j \circ f \circ \imath_i и называемых матрицей преобразования. Обратно, любая матрица преобразования f_{ij} \colon a_i \to b_j задаёт единственный соответствующий морфизм \scriptstyle f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j. Если в категории существует нулевой объект 0, то для любых двух объектов x,y существует канонический нулевой морфизм: 0_{xy}:x\to 0\to y. В этом случае матрица преобразования \scriptstyle f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{i\in I} a_i, задаваемая по правилу

f_{ij} = \left\{
\begin{matrix}
0_{a_ja_i},~ i\ne j \\ \mathrm{id}_{a_i},~ i=j
\end{matrix} \right.

называется единичной матрицей.

Пример

В категории конечномерных векторных пространств \mathcal{V}ect_f копроизведение пространств совпадает с их произведением и является их прямой суммой. В этом случае категорное и обычное определение матрицы преобразования совпадают, так как любое конечномерное пространство можно разложить в прямую сумму одномерных, а также и в прямое произведение одномерных. Различие состоит в том, что в категорном определении элементы матрицы — это преобразования одномерного пространства в одномерное, тогда как в обычном определении в этих одномерных пространствах выбраны базисы и можно указывать только координату образа базисного вектора пространства-прообраза в базисе пространства-образа.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Lambek J., Scott P. J. Introduction to Higher-Order Categorical Logic. — Cambridge University Press, 1988. — С. 304.

Литература[править | править вики-текст]