Уравнитель (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ура́внитель[источник не указан 274 дня] (также ядро́ ра́зности) в теории категорий — обобщение понятия решения некоторого (алгебраического, дифференциального и т. п.) уравнения, то есть множества, на котором данные отображения совпадают.

Двойственное уравнителю понятие — коуравнитель.

Определение[править | править вики-текст]

Уравнитель морфизмов f\colon X\to Y и g\colon X\to Y — это предел (если он существует) диаграммы \downarrow\downarrow, то есть такой морфизм eq\colon E\to X, что f\circ eq = g\circ eq и для любого морфизма m\colon O\to X существует единственный морфизм u\colon O \to E, для которого следующая диаграмма коммутативна:

Equalizer-01.png

Равносильно, уравнитель можно определить как коуниверсальный квадрат для морфизмов f\colon X\to Y и g\colon X\to Y.

Примеры[править | править вики-текст]

  • В категории множеств \mathcal{S}et уравнитель двух отображений f и g — это естественное вложение во множество a множества, на котором f и g совпадают, то есть множества \{ x\in a: f(x) = g(x)\}.
  • Аналогичным образом определяется уравнитель в категории \mathcal{T}op топологических пространств.
  • В категории абелевых групп \mathcal{A}b уравнитель гомоморфизмов совпадает с ядром их разности. Именно поэтому уравнитель в произвольной категории также иногда называют ядром разности, хотя в не предаддитивной категории, вообще говоря, разность морфизмов не определена.

Литература[править | править вики-текст]

  • Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.