Простой идеал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В коммутативном кольце A идеал I называется простым, если факторкольцо по нему A / I является областью целостности. Равносильная формулировка: если I \neq A и из ab\in I следует a\in I или b\in I.

Понятие простого идеала является частным случаем понятия первичного идеала.

Одна из важнейших конструкций коммутативной алгебры, использующих понятие простого идеала — локализация кольца A по простому идеалу I.

Множество всех простых идеалов кольца A образует спектр кольца \mathrm{Spec} A. В его определение также входит описание топологии и структурного пучка локальных колец, превращающие его в аффинную схему — базовый объект алгебраической геометрии.


Свойства[править | править вики-текст]

  • Максимальный идеал I кольца A (т.е. собственный идеал, не содержащийся ни в каком собственном идеале) является простым.
  • Идеал I прост тогда и только тогда, когда элементы дополнения к нему образуют мультипликативную систему. Подмножество кольца с единицей называется мультипликативной системой, если оно содержит единицу, не содержит нуля и замкнуто по умножению.
  • Теорема отделимости: Пусть в коммутативном кольце A с единицей задан идеал I, не пересекающийся с мультипликативной системой S_0. Тогда существует простой идеал I_0, содержащий I и не пересекающийся с системой S_0.[источник не указан 321 день]
  • Теорема о радикале: Пересечение всех простых идеалов, содержащих идеал I, совпадает с радикалом идеала I. Радикал идеала I — это множество \sqrt{I}=\{f\in A:\,\exist n\in \mathbb{N} \,\,f^n\in I\}. Оно тоже является идеалом кольца A.

Примеры[править | править вики-текст]

  • В кольце целых чисел A=\mathbb{Z} каждый простой идеал имеет вид pA, где p — простое число.
  • В кольце многочленов от одной переменной A=\mathbb{R}[x] каждый простой идеал имеет вид pA, где p — неприводимый над \mathbb{R} многочлен.
  • В кольце многочленов A=\mathbb{Q}[x,y] множество I=xA+yA является простым идеалом.

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7