Простой идеал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В коммутативном кольце идеал называется простым, если факторкольцо по нему является областью целостности. (Понятие простого идеала является частным случаем понятия первичного идеала.)

Одна из важнейших конструкций коммутативной алгебры, использующих понятие простого идеала — локализация кольца A по простому идеалу $\mathfrak{p}$ .

Множество всех простых идеалов кольца A образует спектр кольца Spec A. В его определение также входит описание топологии и структурного пучка локальных колец, превращающие его в аффинную схему — базовый объект алгебраической геометрии.

[править] Свойства

Eсли два элемента $a,b\in A$ таковы, что $ab\in \mathfrak{a}$ , то или $a\in \mathfrak{a}$ или $b\in \mathfrak{a}$ . Если это свойство выполнено для всех элементов кольца и идеал $\mathfrak{a}$ не совпадает со всем кольцом $A$ , то идеал $\mathfrak{a}$ является простым.
Идеал прост, если элементы дополнения к нему образуют мультипликативную систему.
- Подмножество кольца с единицей называется мультипликативной системой, если оно содержит единицу, не содержит нуля и замкнуто по умножению.
Теорема отделимости: Пусть в коммутативном кольце A с единицей задан идеал , не пересекающийся с мультипликативной системой S₀. Тогда существует простой идеал , содержащий и не пересекающийся с системой S₀.
- Доказательство использует один из вариантов трансфинитной индукции — лемму Цорна. Множество всех идеалов кольца A, содержащих $\mathfrak{a}$ и не пересекающихся с системой $S 0$ непусто (оно включает идеал $\mathfrak{a}$ ), и отношение теоретико-множественного включения задаёт на нём индуктивный порядок. По лемме Цорна это множество содержит максимальный (немажорируемый) элемент — некий идеал $\mathfrak{p}$ . Предположение о его непростоте приводит к противоречию с его максимальностью.
Теорема о радикале: Пересечение всех простых идеалов, содержащих идеал , совпадает с радикалом идеала .
- Радикал идеала $\mathfrak{a}$ — это множество $\sqrt\mathfrak{a}=\{f\in A:\,\exist n\in \mathbb{N} \,\,f^n\in\mathfrak{a}\}$ . Оно тоже является идеалом кольца A.
- Пусть $\mathfrak{p}$ — простой идеал, содержащий $\mathfrak{a}$ . Если элемент f принадлежит радикалу $\sqrt\mathfrak{a}$ , значит некоторая его степень принадлежит идеалу $\mathfrak{a}\subset\mathfrak{p}$ , значит f не может принадлежать дополнению к $\mathfrak{p}$ , так как это дополнение — мультипликативная система (если оно содержит f, то содержит и все его степени). Значит f необходимо принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал $\mathfrak{a}$ .
  Обратно: пусть f не принадлежит радикалу $\sqrt\mathfrak{a}$ . Тогда множество всех его степеней — мультипликативная система, не пересекающая ся с $\mathfrak{a}$ . По предыдущей теореме существует простой идеал, содержащий $\mathfrak{a}$ и не содержащий ни одну из степеней элемента f. Значит f не принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал $\mathfrak{a}$ .