Распределение (дифференциальная геометрия)

Распределением на многообразии $M$ называется подрасслоение касательного расслоения многообразия. Другими словами, в каждой точке $x\in M$ выбрано линейное подпространство $\Delta _{x}$ касательного пространства $T_{x}M$ которое гладко зависит от точки $x$.

Распределения используются в теории интегрируемости и в теории слоений на многообразии.

Определение

Пусть $M$ — гладкое $n$-мерное многообразие и $k\leq n$. Предположим, что в каждой точке $x\in M$ выбрано $k$-мерное подпространство $\Delta _{x}\subset T_{x}(M)$ касательного пространства такое, что у любой точки $x\in M$ существует окрестность $U_{x}\subset M$ и $k$ линейно независимых гладких векторных полей $X_{1},\ldots ,X_{k}$, причем для любой точки $y\in U_{x}$, векторы $X_{1}(y),\ldots ,X_{k}(y)$ составляют базис подпространства $\Delta _{y}\subset T_{y}(M)$.

В этом случае, совокупность $\Delta$ всех подпространств $\Delta _{x}$, $x\in M$, называется $k$-мерным распределением на многообразии $M$.

При этом векторные поля $\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}$ называется локальным базисом распределения $\Delta .$

Инволютивные распределения

Распределение $\Delta$ на $M$ называется инволютивным, если в окрестности каждой точки $x\in M$ существует локальный базис распределения $\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}$ такой, что все скобки Ли векторных полей $[X_{i},X_{j}]$ принадлежат линейной оболочке $\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}$, то есть $[X_{i},X_{j}]$ являются линейными комбинациями векторов $\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}.$ Условие инволютивности распределения $\Delta$ записывается как $[\Delta ,\Delta ]\subset \Delta$.

Инволютивные распределения являются касательными пространствами к слоениям. Инволютивные распределения важны тем, что они удовлетворяют условиям теоремы Фробениуса, и таким образом, приводят к интегрируемым системам.

Задание распределения системой 1-форм

На открытом множестве $U\subset M$ $k$-мерное распределение $\Delta$ может быть задано системой гладких 1-форм $\omega _{1},\dots ,\omega _{n-k}$, определенных в $U$ и линейно независимых в каждой точке: оно определяется уравнениями $\omega _{i}(\xi )=0$. Если $\{\omega _{1}\dots ,\omega _{n-k}\}$ и $\{\omega _{1}',\dots ,\omega _{n-k}'\}$ — системы 1-форм, определяющие распределение $\Delta$ в $U$ и в $U'$, то в пересечении $U\cap U'$ форма $\omega _{i}=\sum \phi _{ij}\omega _{j}$, где $\phi _{ij}$ — такие гладкие функции, что $\det(\phi _{ij})\neq 0$ в $U\cap U'$. Если $U=M$, говорят, что задана глобальная определяющая система форм.

Интегрируемость распределения

$k$-мерное распределение называется интегрируемым, если через каждую точку $x\in M$ проходит $k$-мерная интегральная поверхность, которая касается распределения в каждой своей точке.

Одномерное распределение задается не обращающимся в ноль векторным полем. Такое распределение всегда интегрируемо в силу локальной теоремы существования и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

В $k$-мерном случае, $k>1$, существуют как интегрируемые, так и неинтегрируемые распределения. Теорема Фробениуса дает необходимое и достаточное условие интегрируемости распределения.

Теорема Фробениуса в терминах векторных полей

Теорема: $k$-мерное распределение интегрируемо тогда и только тогда, когда множество векторов, касательных к распределению, замкнуто относительно скобки Ли.

Таким образом, инволютивные распределения являются интегрируемыми.

Теорема Фробениуса в терминах 1-форм

Теорема: $k$-мерное распределение, заданное системой гладких 1-форм $\omega _{1},\dots ,\omega _{n-k}$, интегрируемо тогда и только тогда, когда всякий дифференциал

$d\omega _{i}=\sum _{j}\eta _{j}^{i}\wedge \omega _{j}$,

где $\eta _{j}^{i}$ — гладкие 1-формы. Если определяющие формы $\omega _{i}$ независимы, это условие эквивалентно системе

$\omega _{1}\wedge \dots \wedge \omega _{n-k}\wedge d\omega _{i}=0$.

Интегрируемое распределение $\Delta$ определяет слоение на многообразии $M$: его слоями являются интегральные поверхности распределения. Заметим, что $1$-мерное распределение всегда интегрируемо, следовательно, порождает $1$-мерное слоение.

Теорема Тёрстона

Теорема Тёрстона: На замкнутом многообразии всякое распределение гомотопно интегрируемому , .

Для открытого многообразия критерий гомотопности распределения некоторому интегрируемому распределению был найден Хэфлигером.

См. также

• Слоение
• Пфаффово уравнение
• Субриманово многообразие

Литература

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989.