Система корней

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Систе́ма корне́й (корнева́я систе́ма) в математике — конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определенным геометрическим свойствам. Эта концепция является фундаментальной в теории групп Ли. С тех пор как группы Ли (и некоторые другие аналоги, такие как алгебраические группы) в течение двадцатого века появились во многих разделах математики. Более того, классификация систем корней по схемам Дынкина встречается в разделах математики, не связанных явно с группами Ли (например, в теории сингулярностей).

Определение[править | править исходный текст]

Пусть V — конечномерное евклидово пространство с обычным скалярным произведением обозначаемым как (\cdot,\;\cdot). Система корней в V — это конечное множество \Phi ненулевых векторов (называемых корнями), которые удовлетворяют следующим свойствам.

Целостное условие для \scriptstyle{\langle\alpha,\;\beta\rangle} заставляет \scriptstyle\beta лежать на одной из вертикальных прямых. Комбинирование этого условия с целостным условием для \scriptstyle{\langle\alpha,\;\beta\rangle} сводит возможные углы между \scriptstyle\alpha и \scriptstyle\beta не более чем к двум, для каждой из вертикальных прямых.
  1. V является линейной оболочкой системы корней.
  2. Если два корня \alpha \in \Phi, \beta \in \Phi являются коллинеарными векторами, то либо они совпадают, либо \beta = -\alpha.
  3. Для каждого корня \alpha \in \Phi множество \Phi замкнуто относительно отражения в гиперплоскости, перпендикулярной \alpha. То есть для любых двух корней \alpha и \beta, множество \Phi содержит отражение \beta
    \sigma_\alpha(\beta) =\beta-2\frac{(\alpha,\;\beta)}{(\alpha,\;\alpha)}\alpha \in \Phi.
  4. (Целостное условие) Если \alpha и \beta есть корни в \Phi, тогда проекция \beta на прямую, проходящую через \alpha, есть полуцелое умножение \alpha. То есть
     \langle \beta,\; \alpha \rangle = 2 \frac{(\alpha,\;\beta)}{(\alpha,\;\alpha)} \in \mathbb{Z}.

Принимая во внимание свойство 3, целостное условие эквивалентно утверждению, что разность между \beta и его отражением \sigma_\alpha(\beta) равна корню \alpha, умноженному на некоторое целое число. Следует отметить, что оператор

 \langle \cdot,\; \cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb{Z}

определенный свойством 4 не является скалярным произведением. Он не симметричен и линеен только по первому аргументу.

Классификация систем корней по схемам Дынкина[править | править исходный текст]

Все соединенные диаграммы Дынкина

Примеры систем корней ранга 1 и ранга 2[править | править исходный текст]

Существует только одна система корней ранга 1, она состоит из двух ненулевых векторов \{\alpha,\;-\alpha\}. Эта система называется A_1.

В ранге 2 существуют четыре возможных варианта \sigma_\alpha(\beta)=\beta+n\alpha, где n=0,\;1,\;2,\;3.

Система корней ранга 2
Система корней Система корней
Система корней A_1\times A_1 Система корней A_2
Система корней Система корней
Система корней B_2 Система корней G_2

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]