Среднее Колмогорова

Среднее Колмогорова или среднее по Колмогорову для действительных чисел $x_{1},\ldots ,x_{n}$ — это величина вида

$(*)\qquad M(x_{1},\ldots ,x_{n})=\varphi ^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\varphi (x_{k})\right)=\varphi ^{-1}\left({\frac {\varphi (x_{1})+\ldots +\varphi (x_{n})}{n}}\right)$

где $\varphi$ — непрерывная строго монотонная функция, а $\varphi ^{-1}$ — функция, обратная к $\varphi$, причём аргументом этой обратной функции является средняя сумма в скобках.

Примеры

При выборе определённых функций $\varphi$ среднее Колмогорова даёт различные классические средние:

• при $\varphi (x)=x$ — среднее арифметическое;
• при $\varphi (x)=\log _{a}x$ — среднее геометрическое;
• при $\varphi (x)={\frac {1}{x}}$ — среднее гармоническое;
• при $\varphi (x)=x^{2}$ — среднее квадратическое;
• при $\varphi (x)=x^{\alpha },\ \alpha \neq 0$ — среднее степенное.

Свойства

В 1930 году А. Н. Колмогоров показал, что любая средняя величина $M(x_{1},\ldots ,x_{n})$ имеет вид $(*)$, если она обладает свойствами:

• непрерывности,
• монотонности по каждому $x_{i}$, $i=1,\ldots ,n,$
• симметричности (среднее не меняется при перестановке аргументов),
• среднее от набора равных чисел равно их значению,
• замена значений всех чисел любой подгруппы в наборе $x_{1},\ldots ,x_{n}$ на значение среднего для этой подгруппы не меняет значение среднего всего набора.

Приложения

Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений, для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.

Обобщения

Для непрерывно распределённой величины $f(x)$ среднее Колмогорова на отрезке $[a;b]$:

$\qquad M_{[a;b]}(f(x))=\varphi ^{-1}\left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\varphi (f(x))dx\right).$

См. также

• Прикладная статистика
• Эконометрика