Уравнение Лапласа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение Лапласа — дифференциальное уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так:

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0

и является частным случаем уравнения Гельмгольца.

Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается:

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}  = 0

Также и в n-мерном пространстве. В этом случае нулю приравнивается сумма n вторых производных.

С помощью дифференциального оператора

\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} + ...

— (оператора Лапласа) — это уравнение записывается (для любой размерности) одинаково как \Delta u = 0

В этом случае размерность пространства указывается явно (или подразумевается).

Уравнение Лапласа относится к эллиптическому виду. Функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармоническими функциями. Неоднородное уравнение Лапласа называется уравнением Пуассона.

  • Замечание: всё сказанное выше относится к декартовым координатам в плоском пространстве (какова бы ни была его размерность). При использовании других координат представление оператора Лапласа меняется, и, соответственно, меняется запись уравнения Лапласа (пример — см. ниже). Эти уравнения также называются уравнением Лапласа, однако для устранения неоднозначности терминологии при этом обычно явно добавляется указание системы координат (и, при желании полной ясности, размерности), например: "двумерное уравнение Лапласа в полярных координатах".

Другие формы уравнения Лапласа[править | править исходный текст]

  • В сферических координатах \ (r,\theta,\varphi) уравнение имеет вид
{1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0

Особые точки r = 0, \theta = 0, \theta = \pi.

  • В полярных координатах (r,\varphi) уравнение имеет вид
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial \varphi ^2} = 0

Особая точка r = 0.

  • В цилиндрических координатах (r,\varphi,z) уравнение имеет вид
{1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left( r {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {\partial^2f \over \partial z^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0

Особая точка r = 0.

См. также оператор набла в различных системах координат.

Применение уравнения Лапласа[править | править исходный текст]

Уравнение Лапласа возникает во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики. Большое значение оператор Лапласа имеет в квантовой физике, в частности в уравнении Шрёдингера.

Решения уравнения Лапласа[править | править исходный текст]

Несмотря на то, что уравнение Лапласа является одним из самых простых в математической физике, его решение сталкивается с трудностями. Особенно трудным бывает численное решение из-за нерегулярности функций и наличия особенностей.

Общее решение[править | править исходный текст]

Одномерное пространство[править | править исходный текст]

В одномерном вещественном пространстве уравнение Лапласа, сводящееся к равенству нулю второй производной, имеет общим решением линейную функцию:

f(x) = C_1  x + C_2

где C_1, C_2 — произвольные постоянные.

Двумерное пространство[править | править исходный текст]

Уравнению Лапласа на двумерном пространстве удовлетворяют аналитические функции. Аналитические функции рассматриваются в теории функций комплексного переменного, и класс решений уравнения Лапласа можно свести к функции комплексного переменного.

Уравнение Лапласа для двух независимых переменных формулируется в следующем виде

\varphi_{xx} + \varphi_{yy} = 0.\,

Аналитические функции[править | править исходный текст]

Если z = x + iy, и

f(z) = u(x,y) + iv(x,y),\,

то условия Коши — Римана являются необходимыми и достаточными для того, чтобы функция f(z) была аналитической:

\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} ,~ \frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x} .

И вещественная и мнимая части аналитических функций удовлетворяют уравнению Лапласа. Продифференцировав условия Коши — Римана, получаем

u_{yy} = (-v_x)_y = -(v_y)_x = -(u_x)_x.\,

А это не что иное, как уравнение Лапласа для функции u. Точно также показывается, что функция v удовлетворяет уравнению Лапласа.

Трёхмерное пространство[править | править исходный текст]

Тривиальное решение уравнения Лапласа: u=a + bx + cy + dz + exy + hxz + kyz + lxyz, член , аддитивный , вместо константы в равенстве о полной энергии. v^2/2=F+ a + bx + cy + dz + exy + hxz + kyz + lxyz, где F решение уравнения Лапласа. Пусть F=F(r) потенциал. Его оператор Лапласа есть F' '(r)+2F'(r)/r (продифференцировать F по xx, yy, zz - и сложить)-такой должна быть ВСЯКАЯ функция от r. Пусть он равен некоторой функции g(r). Тогда общий вид силы тяготения есть F'(r)=c/r^2 + второй член решения линейного диф. уравнения относительно F'! Авт. knyshus.

\frac{Fxxx}{x}+\frac{Fyyy}{y}+\frac{Fzzz}{z} = \frac{F'''}{r} + \frac{6F''}{r^2} - \frac{6F'}{r^3}

Последнее выражение есть некоторая функция g(r). Любое решение такого линейного неоднородного уравнения имеет первым слагаемым F'=c1*r + c2/r^6, - общее решение соответствующего однородного уравнения. Поэтому это решение, наряду с c/r^2, тоже является функцией тяготения. Известно, что тяготение c/r^5 дает спиралевидные траектории. Какая материя создает тяготение c2/r^6 ? Почему физическое прстранство трехмерно. Ответ даст уравнение Лапласа. Физическое пространство предполагает наличие функции расстояния. Найдем решение уравнения Лапласа для двух, трех и четырех соответственно c/r, c/r^2, c/r^3/. Остается только проверить, как

себя ведет первое и третье. Они вырожденные-остается только 

второе.

Функция Грина[править | править исходный текст]

Задача Дирихле[править | править исходный текст]

Задача Дирихле — краевые условия для уравнения Лапласа, когда искомая функция задана на ограниченной области и известны её значения на границе.

Задача Неймана[править | править исходный текст]

Задача Неймана — в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной по нормали искомой функции на границе области — так называемые граничные условия второго рода.

Литература[править | править исходный текст]