Уравнение Лапласа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Уравнение Лапласа — уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так:

и является частным случаем уравнения Гельмгольца.

Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается:

Также и в n-мерном пространстве. В этом случае нулю приравнивается сумма n вторых производных.

С помощью дифференциального оператора

— (оператора Лапласа) — это уравнение записывается (для любой размерности) одинаково как

В этом случае размерность пространства указывается явно (или подразумевается).

Уравнение Лапласа относится к эллиптическому виду. Функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармоническими функциями. Неоднородное уравнение Лапласа называется уравнением Пуассона.

• Замечание: всё сказанное выше относится к декартовым координатам в плоском пространстве (какова бы ни была его размерность). При использовании других координат представление оператора Лапласа меняется, и, соответственно, меняется запись уравнения Лапласа (пример — см. ниже). Эти уравнения также называются уравнением Лапласа, однако для устранения неоднозначности терминологии при этом обычно явно добавляется указание системы координат (и, при желании полной ясности, размерности), например: "двумерное уравнение Лапласа в полярных координатах).

Содержание 1 Другие формы уравнения Лапласа 2 Применение уравнения Лапласа 3 Решения уравнения Лапласа 4 Общее решение 4.1 Одномерное пространство 4.2 Двумерное пространство 4.3 Аналитические функции 4.4 Трёхмерное пространство 4.5 Функция Грина 5 Задача Дирихле 6 Задача Неймана 7 Ссылки

[править] Другие формы уравнения Лапласа

В сферических координатах уравнение имеет вид

В полярных координатах r, φ уравнение имеет вид

См. также оператор набла в различных системах координат.

[править] Применение уравнения Лапласа

Уравнение Лапласа возникает во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики.

[править] Решения уравнения Лапласа

Несмотря на то, что уравнение Лапласа является одним из самых простых в математической физике, его решение сталкивается с трудностями. Особенно трудным бывает численное решение из-за нерегулярности функций и наличия особенностей.

[править] Общее решение

[править] Одномерное пространство

В одномерном вещественном пространстве уравнение Лапласа, сводящееся к равенству нулю второй производной, имеет общим решением линейную функцию:

f(x) = C₁x + C₂

где C₁,C₂ — произвольные постоянные.

[править] Двумерное пространство

Общее решение уравнения Лапласа на двумерном пространстве называется аналитической функцией. Аналитические функции рассматриваются в теории функций комплексного переменного, и решение уравнения Лапласа можно свести к функции комплексного переменного.

Уравнение Лапласа для двух независимых переменных формулируется в следующем виде

[править] Аналитические функции

Если z = x + iy, и

то условия Коши — Римана являются необходимыми и достаточными для того, чтобы функция f(z) была аналитической:

И действительная и мнимая части аналитических функций удовлетворяют уравнению Лапласа. Продифференцировав условия Коши — Римана, получаем

А это ни что иное, как уравнение Лапласа для функции u. Точно также показывается, что функция v удовлетворяет уравнению Лапласа.

[править] Трёхмерное пространство

[править] Функция Грина

[править] Задача Дирихле

Задача Дирихле — краевые условия для уравнения Лапласа, когда искомая функция задана на ограниченной области, и известны её значения на границе.

[править] Задача Неймана

Задача Неймана — в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной искомой функции на границе области — так называемые граничные условия второго рода.

[править] Ссылки

• Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X
• Дж. Шарма, К. Сингх Уравнения в частных производных для инженеров.

Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.