Многочлены Лежандра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Многочлены Лежандра
Общая информация
Формула

P_n(z)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dz^n}(z^2-1)^n

Скалярное произведение

(f, g) = \int_{-1}^{1} {f(x) g(x) dx}

Область определения

[-1, 1]

Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение

(1-z^2) \frac{\mathrm d^2u}{\mathrm dz^2}-2z\frac{\mathrm du}{\mathrm dz} + n(n+1)u = 0

Норма

 ||P_n(x)|| = \sqrt{\frac{2}{2n+1}}

Названы в честь

Лежандр, Адриен Мари

Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке [-1,\;1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов 1,\;x,\;x^2,\;x^3,\;\ldots ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение[править | править вики-текст]

Полиномы Лежандра и присоединённые функции Лежандра первого и второго рода[править | править вики-текст]

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

(1-z^2) \frac{\mathrm d^2u}{\mathrm dz^2}-2z\frac{\mathrm du}{\mathrm dz} + n(n+1)u = 0, (УравнПолЛеж)

где ~z — комплексная переменная. Решения этого уравнения при целых ~n имеют вид многочленов, называемых многочленами Лежандра. Полином Лежандра степени ~n можно представить через формулу Родрига в виде[1]

P_n(z)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dz^n}(z^2-1)^n

Часто вместо ~z записывают косинус полярного угла:

P_n(\cos\theta)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{d(\cos\theta)^n}(\cos^2\theta-1)^n

Уравнение (УравнПолЛеж) можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения, называемого уравнением Лежандра

(1-z^2) \frac{\mathrm d^2u}{\mathrm dz^2}-2z\frac{\mathrm du}{\mathrm dz} + \left[ \nu(\nu+1) - \frac{\mu^2}{1-z^2}\right]u = 0, (УравнЛеж)

где ~\mu, ~\nu — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при ~|z| < 1 (в частности, при действительных ~z) или когда действительная часть числа ~z больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или шаровыми функциями. Подстановка вида w = (z^2-1)^{\mu/2} в (УравнЛеж) даёт уравнение Гаусса, решение которого в области |1 - z| < 2 принимает вид

w = P_\nu^\mu(z)=\frac{1}{\Gamma(1-\mu)} \left( \frac{z+1}{z-1} \right)^{\mu/2} F\left(-\nu,\nu+1; 1-\mu; \frac{1}{2} - \frac{z}{2} \right),

где F — гипергеометрическая функция. Подстановка w = z^2 в (УравнЛеж) приводит к решению вида

w = Q_\nu^\mu(z)= e^{\mu i \pi} 2^{-\nu-1}\sqrt{\pi} \frac{\Gamma(\nu+\mu+1)}{\Gamma(\nu+3/2)} z^{-\nu-\mu-1}(z^2-1)^{\mu/2} F\left(\frac{\nu}{2}+\frac{\mu}{2}+1,\frac{\nu}{2}+\frac{\mu}{2}+\frac{1}{2}; \nu+\frac{3}{2}; z^{-2} \right),

определённым на |z|>1. Функции P_\nu^\mu(z) и Q_\nu^\mu(z) называют функциями Лежандра первого и второго рода.[2]

Справедливы соотношения[3]

P_\nu^\mu(z) = P_{-\nu-1}^\mu(z)

и

Q_\nu^\mu(z) \sin\pi(\nu+\mu) - Q_{-\nu-1}^\mu(z) \sin\pi(\nu-\mu) = \pi e^{i\mu\pi}\cos(\nu\pi)P_\nu^\mu(z).

Выражение через суммы[править | править вики-текст]

  • Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:
P_n(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{E(n/2)}(-1)^k\binom{n}{k}\binom{2n-2k}{n}x^{n-2k};
P_n(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2(x-1)^{n-k}(x+1)^{k};
P_n(x)=\frac{(x+1)^n}{2^n}\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}^2\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^k, если x\neq -1;
P_n(x)=\frac{(x-1)^n}{2^n}\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}^2\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^k, если x\neq 1.

Рекуррентная формула[править | править вики-текст]

P_{n+1}(x)=\frac{2n+1}{n+1}xP_n(x)-\frac{n}{n+1}P_{n-1}(x) (РекуррЛеж)
P_0(x)=1,
P_1(x)=x.

Производная полинома Лежандра[править | править вики-текст]

  • Вычисляется по формуле[5]:

P'_{n}(x)=\frac{n}{1-x^2} [P_{n-1}(x)-xP_n(x)]. (ПроизвЛеж)

Корни полинома Лежандра[править | править вики-текст]

  • Вычисляются итеративно по методу Ньютона[5]:
x_i^{(k+1)} = x_i^{(k)} - \frac{P_{n}(x_i^{(k)})}{P'_{n}(x_i^{(k)})},
причем, начальное приближение для i-го корня (i = 1, 2, …, n) берется по формуле[5]
x_i^{(0)} = cos[\pi (4i-1)/(4n+2)].

Значение полинома можно вычислять используя рекуррентную фомулу для конкретного значения x. Производную также можно вычислять для конкретного значения x, используя формулу для производной.

Формулы с разложениями[править | править вики-текст]

  • Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:


для |t| < \min |x\, ± \sqrt{x^2-1}|:

(1-2tx+t^2)^{- \frac{1}{2}}=\sum_{n=1}^\infty P_n(x)t^n,


и для |t| > \max |x\, ± \sqrt{x^2-1}|:

(1-2tx+t^2)^{- \frac{1}{2}}=\sum_{n=1}^\infty P_n(x)\frac{1}{t^{n+1}}.

Следовательно, P_n(x)=\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2} [x^n-\frac{n(n-1)}{2(2n-1)}x^{n-2}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot4(2n-1)(2n-3)}x^{n-4}-...].

Присоединённые многочлены Лежандра[править | править вики-текст]

  • Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле:
P^m_n(x)=(1-x^2)^{m/2}\frac{d^m}{dx^m}P_n(x),

которую также можно представить в виде:

P^m_n(\cos\theta)=\sin^m\theta\frac{d^m}{d(\cos\theta)^m} P_n(\cos\theta).

При m = 0 функция P^m_n совпадает с ~P_n.

Матрица функции многочлена Лежандра[править | править вики-текст]

\begin{pmatrix} 
0 & 0 & -2 & 0 & 0 & \vdots & 0 & \vdots & 0 \\
0 & 2 & 0 & -6 & 0 & \vdots & 0 & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 6 & 0 & -12 &\vdots & 0 & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 12 & 0 & \vdots & 0 & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & 20 & \vdots & 0 & \vdots & \vdots \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \ddots & \vdots & \dots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\dots & k(k+1) &\dots & \vdots \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots &\dots & \dots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & \dots & n(n+1) \\
\end{pmatrix}

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны k(k+1), где k\in\{0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots,\;n\}.

Примеры[править | править вики-текст]

Первые 6 многочленов Лежандра.

Первые многочлены Лежандра равны:

  • P_0(x)=1;\,
  • P_1(x)=x;\,
  • P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1);
  • P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x);
  • P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3);
  • P_5(x)=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x);
  • P_6(x)=\frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5);
  • P_7(x)=\frac{1}{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x);
  • P_8(x)=\frac{1}{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35);
  • P_9(x)=\frac{1}{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x);
  • P_{10}(x)=\frac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63).

Поскольку ~P_n(1)=1, то

P_n(x)=\frac{1}{\lambda_0+\lambda_1+\ldots+\lambda_n}(\lambda_0+\lambda_1x+\lambda_2x^2+\ldots+\lambda_nx^n)=\frac{\sum\limits_{i=0}^n \lambda_i x^i}{\sum\limits_{i=0}^n \lambda_i}.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если n\neq 0, то \forall x\in(-1,\;1),\;|P_n(x)|< 1.
  • Для n\neq 0, степень P_n равна n.
  • Сумма коэффициентов многочлена Лежандра P_n(x)\, равна 1.
  • Уравнение P_n(x)=0 \, имеет ровно n различных корней на отрезке [-1,\;1].
  • Пусть \forall n\in\N,\;U_n(x)=(x^2-1)^n. Тогда:
  •  U'_{n+1}(x)-2(n+1)xU_n(x)=0;\,
  • (x^2-1)U'_n(x)-2nxU_n(x)=0.\,
\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{d}{dx}P_n(x)\right]-\frac{m^2}{(1-x^2)}P_n(x)+n(n+1)P_n(x)=0.
При m=0 уравнение принимает вид
P'_{n+1}(x)=xP'_n(x)+(n+1)P_n(x).\,
\sum_{n=0}^\infty P_n(z)x^n=\frac{1}{\sqrt{1-2xz+x^2}}.
\int\limits_{-1}^1 P_k(x)P_l(x)\,dx=\frac{2}{2k+1}\delta_{kl},

где \delta_{kl} — символ Кронекера.

  • Для n\in\N, норма P_n равна:
||P_n||=\sqrt{\int\limits_{-1}^1 P_n^2(x)\,dx}=\sqrt{\frac{2}{2n+1}}.
  • Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой P_n следующим соотношением:
\tilde P_n(x)=\frac{P_n(x)}{||P_n||}=\sqrt{\frac{2n+1}{2}}P_n(x).
  • При каждом m>0 система присоединённых функций Лежандра P^m_n(x),\;n=m,\;m+1,\;\ldots полна в L_2(-1,\;1).
  • В зависимости от m и n присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:
P^m_n(-x)=(-1)^{m+n}P^m_n(x).
  • P_{2n}\, — четная функция;
  • P_{2n+1}\, — нечетная функция.
  • P_n(1)=1.\,
  • P_n(-1)=(-1)^n.\,
  • P_{2n}(0)=\frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{2n}{k}\binom{4n-2k}{2n}0^{2n-2k}=\frac{1}{2^{2n}}(-1)^n\binom{2n}{n}, поскольку \forall k\neq n 0^{2n-2k}=0, а 0^{2n-2n}=1.
  • Для n\neq 0, P_{2n}(0)\leqslant\frac{1}{\sqrt{\pi n}}.
  • \forall x\in[-1,\;1],\;\forall n\in\N^*,\;|P_n(x)|\leqslant\sqrt{\frac{2}{\pi n(1-x^2)}}.

Ряды многочленов Лежандра[править | править вики-текст]

Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра[править | править вики-текст]

Липшицевая функция f является функцией со свойством:

|f(x)-f(y)|\leqslant L|x-y|, где L>0.

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть \varepsilon(I) — пространство непрерывных отображений на отрезке I=[-1,\;1], f\in\varepsilon(I) и n\in\N.

Пусть

c_n(f)=\int\limits_{-1}^1 f(x)\tilde P_n(x)\,dx,

тогда c_n(f)\, удовлетворяет следующему условию:

\lim_{n\to\infty} c_n(f)=0.

Пусть S_nf=\sum_{k=0}^n c_k(f)\tilde P_k и S_nf\, удовлетворяет следующим условиям:

  1. \forall x\in I,\;S_nf(x)=\int\limits_{-1}^1 K_n(x,\;y)f(y)\,dy, где K_n(x,\;y)=\frac{n+1}{2}\frac{P_{n+1}(x)P_n(y)-P_{n+1}(y)P_n(x)}{x-y} ;
  2. S_nf(x)-f(x)=\int\limits_{-1}^1 K_n(x,\;y)(f(y)-f(x))\,dy ;
  3. \forall x\in[-1,1],\;\lim_{n\to\infty}S_nf(x)=f(x).

Липшецевую функцию f можно записать следующим образом:

f=\sum_{n=0}^\infty c_n(f)\tilde P_n.

Разложение голоморфной функции[править | править вики-текст]

Всякая функция f, голоморфная внутри эллипса с фокусами −1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

f(x)=\sum_{n=0}^\infty \lambda_n P_n(x)

Теорема сложения[править | править вики-текст]

Для величин, удовлетворяющих условиям 0\le \psi_1 < \pi, 0\le \psi_2 < \pi, \psi_1 + \psi_2 < \pi, \phi — действительное число, можно записать теорему сложения для полиномов Лежандра первого рода:[6]

P_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)P_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty (-1)^m P_k^{-m}(\cos\psi_1)P_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi,

или, в альтернативной форме через гамма-функцию:

P_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)P_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty \frac{\Gamma(k-m+1)}{\Gamma(k+m+1)} P_k^m(\cos\psi_1)P_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi.

Для полиномов Лежандра второго рода теорема сложения выглядит как[7]

Q_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)Q_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty (-1)^m P_k^{-m}(\cos\psi_1)Q_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi

при условиях 0\le \psi_1 < \pi/2, 0\le \psi_2 < \pi, \psi_1 + \psi_2 < \pi, \phi

Функции Лежандра[править | править вики-текст]

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра P_{n,\;m}(x)) естественно возникают в теории потенциала.

Шаровые функции — это функции (в сферических координатах r,\;\theta,\;\varphi) вида (с точностью до константы)

r^nP^m_n(\cos\theta)\cos m\varphi и r^nP^m_n(\cos\theta)\sin m\varphi,

где P^m_n — присоединённые многочлены Лежандра;

а точнее вида r^nY_{n m} , где Y_{n m} — сферические функции.

Шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в \R^3 .

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
  • Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5
  • Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Изд. 4-е, перераб. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — 19 000 экз.
  • Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
  • Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988.
  • Цимринг Ш.Е. Специальные функции и определенные интегралы. Алгоритмы. Программы для микрокалькуляторов: Справочник. — М.: Радио и связь, 1988.