Тензор энергии-импульса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Те́нзор эне́ргии-и́мпульса (ТЭИ) — симметричный тензор второго ранга (валентности), описывающий плотность и поток энергии и импульса полей материи[1], и определяющий взаимодействие этих полей с гравитационным полем.

Тензор энергии-импульса является дальнейшим релятивистским обобщением понятий энергии и импульса классической механики сплошной среды. Близким к нему понятием-обобщением является 4-вектор энергии-импульса частицы в специальной теории относительности.

Компоненты тензора энергии-импульса[править | править вики-текст]

Тензор энергии-импульса может быть записан в виде действительной симметричной матрицы 4x4:

 T^{\mu \nu} \ = \  \left( \begin{matrix}
                    T^{00} & T^{01} & T^{02} & T^{03} \\
                    T^{10} & T^{11} & T^{12} & T^{13} \\
                    T^{20} & T^{21} & T^{22} & T^{23} \\
                    T^{30} & T^{31} & T^{32} & T^{33} 
       \end{matrix} \right).

В нём обнаруживаются следующие физические величины:

  • T00 — объёмная плотность энергии. Как правило, она должна быть положительной, однако теоретически допускается существование локальных пространственных областей с отрицательной плотностью энергии. В частности, подобную область можно создать с помощью эффекта Казимира[2].
  • T10, T20, T30 — компоненты импульса плотности , умноженные на c.
  • T01, T02, T03 — компоненты потока энергии (вектора Пойнтинга), делённые на c. В силу симметрии Tμν соблюдается равенство: T = Tμ0
  • Подматрица 3 x 3 из чисто пространственных компонент
 T^{ik} \ = \ \left( \begin{matrix}
                    T^{11} & T^{12} & T^{13} \\
                    T^{21} & T^{22} & T^{23} \\
                    T^{31} & T^{32} & T^{33} 
       \end{matrix} \right)

есть 3-мерный тензор плотности потока импульса, или тензор напряжений со знаком минус. В механике жидкости диагональные её компоненты соответствуют давлению, а прочие составляющие — тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии — натяжениям), вызванным вязкостью.

Для жидкости в покое тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице ~{\rm{diag}}({{\rho}c^2},~p,~p,~p), где ~{\rho} есть плотность массы, а ~p — гидростатическое давление.

T^{ik} = \rho\, u^i u^k

где \rho — плотность массы (покоя), u^i, u^k — компоненты 4-скорости — записано также для простейшего случая, когда все пылевые частицы движутся с одинаковой скоростью хотя бы локально, а если последнее не так, выражение надо еще суммировать (интегрировать) по скоростям.

Канонический тензор энергии-импульса[править | править вики-текст]

В специальной теории относительности физические законы одинаковы во всех точках пространства-времени, поэтому трансляции 4-координат не должны изменять уравнений движения поля. Таким образом, согласно теореме Нётер, бесконечно малым пространственно-временным трансляциям должен соответствовать сохраняющийся нётеровский поток, который в данном случае называется каноническим ТЭИ.

Для лагранжиана (плотности функции Лагранжа)  \mathcal{L}_\mathrm{M} = \mathcal{L}_\mathrm{M} ( \phi_i , \partial_{\mu} \phi_i ) , зависящего от полевых функций  \phi_i \, и их первых производных, но не зависящего от координат, функционал действия будет инвариантен относительно трансляций:

 
\begin{cases}
  x^{\mu} \to x^{\prime\mu} = x^{\mu} + \delta x^{\mu} \\
  \phi_i(x) \to \phi_i^{\prime}(x^{\prime}) = \phi_i(x).
\end{cases}

Из теоремы Нётер будет следовать закон сохранение канонического ТЭИ (записан в галилеевых координатах)

 {{T_c}^\mu}_\nu (x) = \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial \mathcal{L}_\mathrm{M}} {\partial (\partial_{\mu} \phi_{i})} \partial_{\nu} \phi_{i} - \mathcal{L}_\mathrm{M} \delta^\mu_\nu ,

который имеет вид

 \partial_{\mu} {T^\mu}_\nu \equiv T^\mu_{\nu,\;\mu}=0.

Канонический ТЭИ в полностью контравариантном виде имеет форму

 T^{\mu\nu} = g^{\nu\rho}\, {T^\mu}_\rho = \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial \mathcal{L}_\mathrm{M}} {\partial (\partial_{\mu} \phi_{i})} \partial^{\nu} \phi_{i} - \mathcal{L}_\mathrm{M} g^{\mu\nu} .

Этот тензор неоднозначен. Свойство неоднозначности можно использовать для приведения, вообще говоря, несимметричного тензора  T^{\mu\nu}\, к симметризованному виду добавлением тензорной величины \frac{\partial \psi^{\mu\nu\lambda}}{\partial x^{\lambda}}\;, где тензор \psi^{\mu\nu\lambda}\; антисимметричен по двум последним индексам \psi^{\mu\nu\lambda}=-\psi^{\mu\lambda\nu} \, . Действительно, для симметризованного ТЭИ

 \Theta^{\mu\nu} = T^{\mu\nu} + \partial_\lambda \psi^{\mu\nu\lambda}

автоматически следует закон сохранения  \partial_\nu \Theta^{\mu\nu} = 0 .

Метрический тензор энергии-импульса[править | править вики-текст]

В общей теории относительности так называемый метрический ТЭИ T^ {\mu \nu} (x) выражается через вариационную производную по метрическому тензору g_{\mu\nu} в точке x пространства-времени от инвариантной относительно замен координат лагранжевой плотности функционала действия:

{T_m}^{\mu \nu} (x) = \frac {2}{\sqrt{-g}} \frac {\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{ \delta g_{\mu \nu} (x)}=g^{\mu \nu} \mathcal{L}_\mathrm{M} - 2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g_{\mu \nu}}=
=\frac {2}{\sqrt{-g}}\left(\frac{\partial (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{ \partial g_{\mu \nu} (x)}-\frac{\partial}{\partial x^\lambda}\frac {\partial (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\partial\displaystyle\frac{\partial g_{\mu \nu} (x)}{\partial x^\lambda}}+\ldots\right),

где  g(x) = \det \left ( g_{\mu \nu} (x) \right ). Этот тензор энергии-импульса очевидно симметричен. В уравнения Эйнштейна метрический ТЭИ входит в качестве внешнего источника гравитационного поля:

 \frac {c^4}{8 \pi G} \left ( R_{ \mu \nu } - \frac {1}{2} g_{ \mu \nu } R + \Lambda g_{ \mu \nu } \right ) = T_{ \mu \nu } (x),

где  R_{ \mu \nu }  — тензор Риччи,  R = g^{ \mu \nu } R_{ \mu \nu }  — скалярная кривизна. Для этого тензора в силу инвариантности действия относительно координатных подстановок справедлив дифференциальный закон сохранения в виде

T^\mu_{\nu;\mu}=0.

Тензор энергии-импульса в классической электродинамике[править | править вики-текст]

В классической электродинамике тензор энергии-импульса электромагнитного поля в Международной системе единиц (СИ) имеет вид:

T_{00} = \frac{\mathbf E \cdot \mathbf D}{2} + \frac{\mathbf B \cdot \mathbf H}{2}
\begin{pmatrix}
  T_{01} & T_{02} & T_{03} 
\end{pmatrix}  = \begin{pmatrix}
  T_{10} & T_{20} & T_{30} 
\end{pmatrix} = \frac{1}{c} \left[ \mathbf E \times \mathbf H \right]
 T_{ij} = E_i D_j + B_i H_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}(\mathbf E \cdot \mathbf D + \mathbf B \cdot \mathbf H) = E_i D_j + B_i H_j - \delta_{ij}T_{00}.

Пространственные компоненты T_{ij} образуют трёхмерный тензор, который называют максвелловским тензором напряжений[3] или тензором натяжений Максвелла[4].

В ковариантной форме можно записать:

T^{\mu\nu} = -\frac{1}{\mu_0}[ F^{\mu \alpha}F_{\alpha}{}^{\nu} + \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}] \,.

Тензор энергии-импульса в квантовой теории поля[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Полями материи (материальными полями) в общей теории относительности традиционно называются все поля, кроме гравитационного.
  2. M. Morris, K. Thorne, and U. Yurtsever, Wormholes, Time Machines, and the Weak Energy Condition, Physical Review, 61, 13, September 1988, pp. 1446—1449
  3. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 115. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
  4. Степановский Ю. П. Максвелла тензор натяжений // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1992. — Т. 3. Магнитоплазменный компрессор — Пойнтинга теорема. — С. 32-33. — 672 с. — 48 000 экз. — ISBN 5-85270-019-3

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]