Лагранжиан

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Лагранжиа́н, функция Лагранжа  \mathcal {L} [\varphi_i] динамической системы, названа в честь Жозефа Луи Лагранжа, является функцией обобщённых координат  \ \varphi_i (s) и описывает эволюцию системы. Например уравнения движения (для классической механики) в этом подходе получаются из принципа наименьшего действия, записываемого как:

 \frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0

где действие — функционал  \mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,d^ns},

а \varphi_i — обобщённые координаты (например, координаты частиц или полевые переменные),\ s_j обозначает множество параметров системы, в случае классической механики — независимые пространственные координаты и время, а более широком еще электрические или другие физические параметры.

Уравнения, полученные посредством приравнивания нулю функциональной производной функционала по всем направлениям, идентичны обычным уравнениям Эйлера-Лагранжа. Динамические системы, чьи уравнения могут быть получены посредством принципа наименьшего действия для удобно выбранной функции Лагранжа, известны как лагранжевы динамические системы.

Примеров лагранжевых динамических систем много, начиная с классической версии Стандартной модели в физике элементарных частиц и заканчивая уравнениями Ньютона в классической механике (см. Лагранжева механика). Также к этой области относятся чисто математические проблемы, такие как задача нахождения уравнений геодезических и проблема Плато.

Через преобразование Лежандра Лагранжиан связан с гамильтонианом (в котором за основу берутся импульсы), на базе гамильтониана сформулирована Гамильтонова механика.

Пример из классической механики[править | править вики-текст]

Понятие функции Лагранжа было первоначально введено для переформулировки классической механики в виде, известном как лагранжева механика. В этом контексте функция Лагранжа обычно берётся в виде разности кинетической и потенциальной энергии механической системы.

Пусть размерность пространства равна трём и функция Лагранжа записана в виде

\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m\dot{\vec{x}}^2-V(\vec{x}),

где производная по времени обозначается точкой над дифференцируемой величиной, \vec{x} — радиус-вектор частицы, m — её масса и V — потенциальная энергия. Тогда уравнение Эйлера-Лагранжа будет: m\ddot{\vec{x}}+\nabla V=0, где \nabla — градиент.

Используя этот результат, можно легко показать, что этот подход эквивалентен подходу Ньютона. Запишем силу F в терминах потенциала \vec{F}=- \nabla V(x), тогда мы получим уравнение \vec{F}=m\ddot{\vec{x}}, которое аналогично уравнению Ньютона с постоянной массой. Простые вычисления приведут нас к выражению \vec{F}=d\vec{p}/dt, которое является вторым законом Ньютона в его обобщённой форме.

Для трёхмерной системы со сферическими координатами r, θ, φ с лагранжианом

\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r)

можно получить следующие уравнения Эйлера-Лагранжа:

m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V' =0,
\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0,
\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0.

Классический лагранжиан быстрой свободной частицы[править | править вики-текст]

Классический (не квантовый, кроме прочего, игнорирующий спин) лагранжиан быстрой (релятивистской) свободной частицы с точностью до множителя — минус массы частицы, умноженной на универсальную константу — совпадает со скоростью роста длины её мировой линии в пространстве Минковского — или собственного времени:

-m c^2 d\tau/dt = -m c^2 \sqrt{1 - v^2/c^2},

где v — обычная трёхмерная скорость частицы, c — скорость света, m — масса частицы.

Из этого лагранжиана следует классическая динамика релятивистских частиц (релятивистская динамика).

Лагранжианы и плотности лагранжианов в теории поля[править | править вики-текст]

  • В теории поля делают различие между лагранжианом L, через который действие выражается как интеграл только по времени
S = \int{\mathcal{L} \, dt}

и плотностью лагранжиана \mathcal{L}, которую нужно интегрировать по всему четырёхмерному[1] пространству-времени:

S [\varphi_i] = \int{\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\, d^4x}

Тогда лагранжиан — это интеграл по пространственным переменным от плотности лагранжиана.

  • В последнее время плотность лагранжиана \mathcal{L} часто называют просто лагранжианом; это полезно в релятивистских теориях, поскольку он определён локально. Такое определение терминов, очевидно, альтернативно приведённому в начале параграфа. Нередко также при этом вводят различие между лагранжианом и функцией Лагранжа, понимая под последней интеграл от лагранжиана по пространству.

Оба определения лагранжиана можно получить как специальные случаи общего определения, в зависимости от того, включены пространственные переменные \vec x в индекс i или в параметры s в \varphi_i(s). Квантовые теории поля в физике элементарных частиц, такие как квантовая электродинамика, обычно описываются в терминах \mathcal{L}. Эта форма удобна, так как быстро переводится в правила, используемые для оценки диаграмм Фейнмана.

Электромагнитный лагранжиан[2][править | править вики-текст]

Электростатика[править | править вики-текст]

Электростатика (физика статических — то есть достаточно медленно меняющихся) электрических полей, которые можно (приближенно или точно) описать скалярным[3] потенциалом и достаточно медленно движущегося заряженного вещества, подчиняющегося таким образом Ньютоновской механике, может быть в целом описана практически в рамках классической механики.

В классической механике лагранжиан есть

 \mathcal{L} = T - V

где T — кинетическая энергия и V — потенциальная энергия.

Для заряженной частицы массой m и зарядом q, находящейся в электрическом (электростатическом) поле со скалярным потенциалом  \phi\ , кинетическая энергия задаётся выражением

 T_s = {1 \over 2} m \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} — для одной частицы (для многих берётся сумма).

Энергия взаимодействия поля с заряженным веществом выглядит как

 V = q\phi\ для одного точечного заряда (для многих суммируется),

или

 V = \int \rho\phi\ dx dy dz — в виде для непрерывного распределения заряда.

(Тот и другой вид оказывается полезно выписать отдельно, хотя, конечно, они друг к другу сводятся, если использовать дельта-функцию). Энергия поля входит в член кинетической энергии наряду с кинетической энергией частиц[4], записываясь как:

 T_f = \int {1 \over 2 \varkappa} (\nabla \phi)^2 dx dy dz,

где \varkappa — «силовая константа», входящая в конечном итоге в закон Кулона.

Таким образом, лагранжиан электростатики, включающий в себя и кинетическую энергию (медленного) движения заряженных частиц, таков:

 \mathcal{L} = T_f - V + T_s,

(каждый член его выписан выше).

  • Естественно, этот лагранжиан может быть при необходимости дополнен другими членами, описывающими неэлектрические силы, например, энергией упругости и т. д.

Проварьировав действие с описанным в этом параграфе лагранжианом[5], легко получить уравнение поля для электростатики (уравнение Пуассона):

\nabla^2 \phi = - \varkappa \rho

и уравнение движения частицы в электростатическом поле (в целом совпадающее с полученным в примере для классической частицы в начале статьи):

m \dot{\mathbf v} = - q \nabla \phi.

Электродинамика[править | править вики-текст]

Трёхмерная формулировка[править | править вики-текст]

В случае электродинамики приходится пользоваться уже не классической потенциальной энергией, а обобщённой (зависящей и от скоростей) потенциальной энергией (энергией взаимодействия):

 V = q\phi - {q \over c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}

или

 V = \int (\rho\phi - {1 \over c} \mathbf{j} \cdot \mathbf{A}) dx dy dz

где c — скорость света, v — скорость частицы, j — вектор плотности тока.

Энергия электромагнитного поля также должна включать по сравнению со случаем электростатики ещё и энергию магнитного поля[6]:

 T_f = \int \frac{1}{2\varkappa} (E^2 - H^2) dx dy dz,

где E и H следует считать выраженными через скалярный потенциал \phi и векторный потенциал А:

\mathbf E = -\nabla\phi - {1 \over c} \frac{\partial\mathbf A}{\partial t},~~~~~~~ \mathbf H = \mathbf{rot} \mathbf A.


Тогда электромагнитный лагранжиан запишется в виде

 L = T_f  - q\phi + {q \over c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A} + T_s.

или

 L = T_f  + \int (-\rho\phi + {1 \over c} \mathbf j\ \cdot \mathbf{A}) dx dy dz + T_s.

Здесь в качестве лагранжиана вещества T_s можно использовать приближенное выражение для медленных частиц, как описано в параграфе об электростатике, а можно использовать (так как для электродинамики, не ограничивающейся медленными движениями, это, вообще говоря, актуально) релятивистский лагранжиан для быстрых частиц

T_s = -m c^2 d\tau/dt = -m c^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.

Как и в случае электростатики, при необходимости к этому лагранжиану могут быть дописаны дополнительные члены, описывающие неэлектромагнитные силы, другие поля итд, что, впрочем, выходит за рамки задачи описания электромагнитного лагранжиана. Строго говоря, выписывание кинетической энергии вещества тоже выходит за эти рамки, однако мы выписали его, чтобы описание сохраняло целостность.

При варьировании действия с этим лагранжианом по ф и по A_x, A_y, A_z (независимо по каждому, используя вторую форму записи лагранжиана), получаются уравнения Максвелла, а при варьировании по координатам заряженных частиц — используя первую форму записи — уравнения движения заряженных частиц в поле, сводящемуся к:

d\mathbf p/d t = \mathbf F_L,,

где p — (трехмерный) импульс частицы, \mathbf F_L — сила Лоренца (включая электрический член).

Однако проще и короче всего такой вывод получается в четырёхмерной формулировке (см.далее).

Четырёхмерная формулировка[править | править вики-текст]

В четырёхмерной формулировке плотность лагранжиана электромагнитного поля, его взаимодействия с заряженным веществом и (для полноты картины) самого вещества выглядит так (используя систему единиц c=1):

L = \frac{1}{4\varkappa} F_{ik}F^{ik} + A_i j^i + L_s.

Второй член (описывающий взаимодействие) можно переписать так, что соответствующее действие будет:

S_{int} = - \int q A_i dx^i.

(Член L_s — обычная плотность лагранжиана быстрой — в общем случае — частицы; явно её можно не выписывать, поскольку для классической теории она не нужна, так как для неё нужен лагранжиан такой частицы, выписанный как обычно — см. выше — а не его плотность).

Здесь c — скорость света, F^{ik} — тензор электромагнитного поля (в лагранжиан входит его свёртка — квадрат), A_i — 4-потенциал, j^i — четырёхмерная плотность тока, dx^i — 4-перемещение; подразумевается правило Эйнштейна суммирования по повторяющемуся индексу.

Варьированием по A_i легко получаются уравнения Максвелла в четырёхмерной форме:

\partial_i F^{ik} = \varkappa j^k,

а варьированием по x^i — уравнение движения для частицы:

d p_i/d\tau = q F_{ik}u^k,\

где p_i = m u_i — 4-импульс, u^k — 4-скорость.

Лагранжиан квантовой теории поля[править | править вики-текст]

Лагранжиан квантовой теории поля в принципе совпадает с классическим, за исключением случаев, когда для некоторой части полевых переменных затруднительно ввести классические аналоги или их корректно проинтерпретировать; впрочем, и тогда обычно можно, хотя бы чисто формально, получить то, что называется классическими уравнениями движения, использовав вместо той или иной процедуры квантования поля с данным лагранжианом приближение стационарной фазы (стационарного действия) — то есть найдя классическое приближение описания системы.

Таким образом, лагранжианы, выписанные ниже, не являются в определённом смысле специфичными только для квантовой теории соответствующих полей; тем не менее они в квантовой теории поля используются, представляя в определенном отношении её основу.

Лагранжиан квантовой электродинамики[править | править вики-текст]

Плотность лагранжиана для КЭД

 \mathcal{L} = \bar \psi (i \not \!\, D - m) \psi - {1 \over 4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}

где ψ — биспинор,  \bar \psi = \psi^\dagger \gamma^0  — его дираковское сопряжение, \! F^{\mu\nu} — тензор электромагнитного поля, D — калибровочная ковариантная производная, и  \not \!\, D  — обозначение Фейнмана для \! \gamma^\sigma D_\sigma .

Лагранжиан Дирака[править | править вики-текст]

Плотность лагранжиана для дираковского поля

 \mathcal{L} = \bar \psi (i \not \! \; \partial - m) \psi .

Лагранжиан квантовой хромодинамики[править | править вики-текст]

Плотность лагранжиана для квантовой хромодинамики [1]

 \mathcal{L} = -{1\over 4} F^\alpha {}_{\mu\nu} F_\alpha {}^{\mu\nu} - \sum_n \bar \psi_n (\not\!\, D_\mu + m_n) \psi_n

где \! D_\mu — калибровочная ковариантная производная КХД, и \! F^\alpha {}_{\mu\nu}  — тензор напряжённости глюонного поля.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. а в некоторых теориях и более многомерному.
  2. В этом пункте речь идет о чисто классической (не квантовой) электродинамике (квантовоэлектродинамический лагранжиан описан в следующих главах), в особенности сказанное касается заряженного вещества, с которым взаимодействует электромагнитное поле — то есть и члена взаимодействия, и лагранжиана собственно вещества (лагранжиан же свободного электромагнитного поля в целом один и тот же в классической и квантовой теории).
  3. Здесь подразумевается, конечно же, скаляр обычного трехмерного пространства, а не инвариант преобразований Лоренца.
  4. Это определяется знаком, который должен получиться в итоге в уравнениях движения и тем, что из определённых соображений энергию поля хочется иметь положительной. Всё это может быть более или менее строго обосновано, но здесь мы ограничимся только что изложенными простыми соображениями.
  5. Для получения уравнения поля удобнее использовать лагранжиан взаимодействия, выраженный через \rho, для получения уравнения движения частицы в поле — через положение точечной частицы (через q\phi).
  6. Вопрос о знаках, как это было сделано выше и для электростатического поля, не будем здесь подробно обсуждать, хотя достаточно строгое обоснование и существует, ограничившись опять замечанием, что именно такие знаки дают нужные знаки в итоговых уравнениях.

Ссылки[править | править вики-текст]