Теорема Ньютона — Лейбница

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием интеграла Римана и вычислением первообразной.

Если \textstyle f непрерывна на отрезке \left [ a,b \right ] и \textstyle \Phi — её любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

\int\limits_a^b f(x)dx = \Phi(b) - \Phi(a) = \Bigl.\Phi\Bigl|_a^b


История[править | править вики-текст]

Ещё до появления математического анализа данная теорема (в геометрической или механической формулировке) была известна Торричелли, Грегори и Барроу. Например, Барроу описал этот факт в 1670 году как зависимость между задачами на квадратуры и на проведение касательных. После создания Ньютоном и Лейбницем дифференциального и интегрального исчислений смысл формулы стал трактоваться чисто математически: операции дифференцирования и интегрирования взаимно обратны.

Ньютон сформулировал теорему словесно следующим образом: «Для получения должного значения площади, прилегающей к некоторой части абсциссы, эту площадь всегда следует брать равной разности значений z [первообразной], соответствующих частям абсцисс, ограниченным началом и концом площади». У Лейбница запись данной формулы в современном виде также отсутствует, поскольку обозначение определённого интеграла появилось гораздо позже, у Фурье в начале XIX века. Современное оформление и строгое доказательство впервые опубликованы также в начале XIX века Лакруа.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
  • Демидович Б.П. Отдел 3. Формула Ньютона — Лейбница // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).