Тождество Капелли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, тождество Капелли названное по имени Альфредо Капелли, является аналогом формулы det(AB) = det(A) det(B), для некоторых матриц с некоммутирующими элементами, связанных с представлением алгебры Ли \mathfrak{gl}_n. Может быть использовано, чтобы соотнести инвариант ƒ с инвариантом Ωƒ, где Ω это Ω-процесс Кэли.

Формулировка[править | править исходный текст]

Предположим, что xij для i,j = 1,...,n коммутирующие переменные. Пишем Eij для поляризационного оператора

E_{ij} = \sum_{a=1}^n x_{ia}\frac{\partial}{\partial x_{ja}}.

Тождество Капелли утверждает, что следующие дифференциальные операторы, выраженные как детерминанты, равны:


\begin{vmatrix}  E_{11}+n-1 & \cdots &E_{1,n-1}& E_{1n} \\ \vdots& \ddots & \vdots&\vdots\\  E_{n-1,1} & \cdots & E_{n-1,n-1}+1&E_{n-1,n} \\  E_{n1} & \cdots & E_{n,n-1}& E_{nn} +0\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}  x_{11} & \cdots & x_{1n} \\ \vdots& \ddots & \vdots\\  x_{n1} & \cdots & x_{nn} \end{vmatrix}
\begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x_{11}} & \cdots &\frac{\partial}{\partial x_{1n}} \\ \vdots& \ddots & \vdots\\ \frac{\partial}{\partial x_{n1}} & \cdots &\frac{\partial}{\partial x_{nn}}  \end{vmatrix}.

Обе стороны - дифференциальные операторы. Детерминант слева имеет некоммутирующие элементы, и дополнен всеми условиями, сохранившими свой порядок слева направо. Такой детерминант часто называют детерминант столбцов, так как он может быть получен за счет расширения столбца детерминанта, начиная с первого столбца. Это может быть формально записана как

\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma)  A_{\sigma(1),1}A_{\sigma(2),2}\cdots A_{\sigma(n),n},

где в результате первыми идут элементы из первой колонки, затем из второй и так далее. Детерминант крайне справа является "омега процессом Кэли", а другой слева - детерминант Капелли.

Операторы Eij могут быть записаны в виде матрицы:

E = X D^t,

где E, X, D - матрицы с элементами Eij, xij, \frac{\partial}{\partial x_{ij}} соответственно. Если все элементы в этих матрицах коммутирующие, тогда определённо \det(E) = \det(X) \det(D^t). Тождество Капелли показывает, что, несмотря на некоммутируемость существует "квантование" формулы выше. Цена некоммутируемости - небольшая коррекция: (n-i)\delta_{ij} на левой стороне. Для обычных некоммутирующих матриц формула как

\det(AB)=\det(A)\det(B)

не существует и понятие 'детерминант' не имеет смысла для обычных некоммутативных матриц. Именно поэтому тождество Капелли все еще держит какую-то тайну, несмотря на многочисленные доказательства, предлагаемых для него. Очень короткого доказательства, кажется, не существует. Непосредственная верификация формулировки может быть представлена в качестве примера для n' = 2, но уже длинна для n = 3.

Соотношения с теории представлений[править | править исходный текст]

Рассмотрим следующий чуть более общий контекст. Предположим, что n и m два целых числа и x_{ij} для i = 1, \dots, n, \ j = 1, \dots, m, коммутирующие переменные. Переопределим E_{ij} почти той-же формулой:

E_{ij} = \sum_{a=1}^m x_{ia}\frac{\partial}{\partial x_{ja}}.

той лишь разницей, что индекс суммирования a колеблется от 1 до m. Легко видеть, что такие операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям:

[ E_{ij}, E_{kl}] = \delta_{jk}E_{il}-  \delta_{il}E_{kj}.~~~~~~~~~

Здесь [a,b] означает коммутатор ab-ba. Это теже коммутационные соотношения которые удовлетворяются матрицами e_{ij} имеющими нули везде кроме (i,j), где находится 1. (e_{ij} иногда называется матричными единицами). Отсюда заключаем, что соответствие \pi : e_{ij} \mapsto E_{ij} определяет Представление алгебры Ли \mathfrak{gl}_n в векторном пространстве многочленов x_{ij}.

Случай m = 1 и представление Sk Cn[править | править исходный текст]

Особенно полезно рассмотреть частный случай m = 1; в данном случае мы имеем xi1, который сокращенно пишется как xi:

E_{ij} =  x_i \frac{\partial}{\partial x_j}.

В частности, для многочленов первой степени видно, что:

E_{ij} x_k =  \delta_{jk} x_i. ~~~~~~~~~~~~~~

Поэтому действие E_{ij} ограничивается пространством многочленов первого порядка точно так же, как действие матричных единиц e_{ij} на векторах в \mathbb{C}^{n}. Так, с точки зрения теории представления, подпространство многочленов первого порядка это подпредставление алгебры Ли \mathfrak{gl}_n, которое мы определили стандартным представлением в \mathbb{C}^{n}. Идя вперёд, видно, что дифференциальные операторы E_{ij} сохраняют порядок многочленов, и следовательно многочлены каждой фиксированной степени образуют подпредставление алгебры Ли \mathfrak{gl}_n. Видно также, что пространство однородных многочленов степени k может быть определено симметричным тензором силы S^k \mathbb{C}^n стандартного представления \mathbb C^n.

Также может быть определено старшим весом структуры этих представлений. Одночлен x^k_1 - вектор старшего веса, конечно: E_{ij} x^k_1=0 для i < j. Его старший вес равен (k, 0, ... ,0), конечно: E_{ii} x^k_1= k \delta_{i1}x^k_1.

Это представление иногда называют бозонным преставлением \mathfrak{gl}_n. Похожие формулы E_{ij} =  \psi_{i}\frac{\partial}{\partial \psi_{j}} определяют т.н. фермионное представление, тут \psi_{i} антикоммутативные переменные. Снова, многочлены k-порядка образуют неприводимое подпредставление, изоморфное \Lambda^k \mathbb{C}^{n} т.е. антисимметричный тензор силы  \mathbb{C}^{n}. Старший вес такого представления (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0). Эти представления k = 1, ..., n являются фундаментальными представлениями \mathfrak{gl}_n.

Тождество Капелли для m = 1[править | править исходный текст]

Давайте вернёмся к тождеству Капелли. Можно доказать следующее:

\det(E+(n-i)\delta_{ij}) = 0, \qquad  n>1

Основная мотивация для этого равенства следующая : рассмотрим  E^c_{ij} =  x_i p_j для некоторых коммутирующий переменных x_i, p_j. матрица  E^{c} имеет ранг один и, следовательно, ее детерминант равен нулю. Элементы матрицы  E определены похожими формулами, однако, её элементы не коммутируют. Тождество Капелли показывает коммутативное тождество:  \det(E^{c})=0 может быть сохранено за небольшую цену коррекции матрицы  E by  (n-i)\delta_{ij} .

Отметим также, что подобное тождество может быть предоставлено для характеристического многочлена:

\det(t+E+(n-i)\delta_{ij}) =  t^{[n]}+ \mathrm{Tr}(E)t^{[n-1]}, ~~~~

where t^{[k]}=t(t+1) \cdots (t+k-1). Коммутативнй аналог этого это простой факт что что для ранга = 1 матриц характеристический многочлен содержит только первые и вторые коэффициенты.

Давайте рассмотрим пример для n = 2.

 \begin{align}
& \begin{vmatrix} t+ E_{11}+1 & E_{12} \\
E_{21}  & t+ E_{22} 
\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix} t+ x_1 \partial_1+1 & x_1 \partial_2 \\
x_2 \partial_1  & t+ x_2 \partial_2
\end{vmatrix} \\[8pt]
& = (t+ x_1 \partial_1+1 ) ( t+ x_2 \partial_2)- x_2 \partial_1 x_1 \partial_2 \\[6pt]
& = t(t+1)+ t( x_1 \partial_1 + x_2 \partial_2) 
+x_1 \partial_1 x_2 \partial_2+x_2 \partial_2 -
 x_2 \partial_1 x_1 \partial_2
\end{align}

Используя

\partial_1 x_1= x_1\partial_1+1,\partial_1 x_2= x_2\partial_1, x_1x_2=x_2x_1 \,

мы видим что это равно:


\begin{align}
& {} \quad t(t+1)+ t( x_1 \partial_1 + x_2 \partial_2) 
+x_2 x_1 \partial_1  \partial_2+x_2 \partial_2 -
 x_2  x_1 \partial_1 \partial_2 - x_2   \partial_2 \\[8pt]
& = t(t+1)+ t( x_1 \partial_1 + x_2 \partial_2)=t^{[2]}+ t\,\mathrm{Tr}(E).
\end{align}

Универсальная обёртывающая алгебра U(\mathfrak{gl}_n) и её центр[править | править исходный текст]

Интересным свойством детерминанта Капелли является то, что он коммутирует со всеми операторами Eij, которые являются коммутаторами [ E_{ij}, \det(E+(n-i)\delta_{ij})]=0 равными нулю. Обобщение:

Рассмотрим любые элементы Eij в любом кольце, таким образом, что они удовлетворяют коммутационному соотношению [ E_{ij}, E_{kl}] = \delta_{jk}E_{il}-  \delta_{il}E_{kj}, (поэтому они могут быть дифференциальными операторами выше, матричными единицами eij или любым другим элементом) определим элементы Ck следующим:

\det(t+E+(n-i)\delta_{ij}) =  
t^{[n]}+\sum_{k=n-1,\dots,0} t^{[k]} C_k, ~~~~~

где t^{[k]}=t(t+1)\cdots(t+k-1),

тогда:

  • элементы Ck коммутируют со всем элементами Eij
  • элементы Ck могут быть предоставлены формулами, аналогичным коммутативному случаю:
C_k=\sum_{I=(i_1<i_2<\cdots<i_k)} \det(E+(k-i)\delta_{ij})_{II},

т.е. они являются суммами главных миноров матрицы E, модуль Коррекции Капелли +(k-i)\delta_{ij}. В особенности элемент C0 детерминант Капелли, который рассмотренный выше.

Эти формулировки взаимосвязаны с тождеством Капелли, как будет обсуждено ниже, и подобно ему, прямого короткого доказательства не существует, несмотря на простоту формулировок.

Универсальная обёртывающая алгебра

U(\mathfrak{gl}_n)

может быть определена как алгебра, генерируемая

Eij

с соблюдением соотношения

[ E_{ij}, E_{kl}] = \delta_{jk}E_{il}-  \delta_{il}E_{kj}

наедине. Предложение выше показывает, что элементы Ckпринадлежат центру U(\mathfrak{gl}_n). Это показывает, что они - свободные генераторы центра U(\mathfrak{gl}_n). Иногда они называются генераторами Капелли. Тождества Капелли для них будут обсуждены ниже.

Рассмотрим пример для n = 2.


\begin{align}
{}\quad \begin{vmatrix} t+ E_{11}+1 & E_{12} \\
E_{21}  & t+ E_{22} 
\end{vmatrix}
& = (t+ E_{11}+1)(t+ E_{22})-E_{21}E_{12} \\
& = t(t+1)+t(E_{11}+E_{22})+E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}. 
\end{align}

Непосредственно проверяется, что элемент (E_{11}+E_{22}) коммутирует с E_{ij}. (Это соответствует очевидному факту, что матрица тождества коммутирует со всеми другими матрицами). Более поучительной является проверка коммутативности второго элемента с E_{ij}. Let us do it for E_{12}:


[E_{12}, E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}]

=[E_{12}, E_{11}] E_{22} + E_{11} [E_{12}, E_{22}] -
[E_{12}, E_{21}] E_{12} - E_{21}[E_{12},E_{12}] +[E_{12},E_{22}]

=-E_{12} E_{22} + E_{11} E_{12} -
(E_{11}- E_{22}) E_{12} - 0 +E_{12}

=-E_{12} E_{22} + E_{22} E_{12}  +E_{12}= -E_{12} + E_{12}=0.

Мы видим, что наивный детерминант  E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12} не коммутирует с E_{12} и коррекция Капелли  +E_{22} существенна для центрированности.

Общая m и дуальные пары[править | править исходный текст]

Вернемся к общему случаю:

E_{ij} = \sum_{a=1}^m x_{ia}\frac{\partial}{\partial x_{ja}},

для произвольного n и m. Определение операторов Eij можно записать в матричном виде: E = X D^t, где E это n \times n матрица с элементами E_{ij}; X это n \times m матрица с элементами x_{ij}; D это n \times m матрица с элементами \frac{\partial}{\partial x_{ij}}.

Тождества Капелли-Коши-Бине

Для общей m матрица E дается как произведение двух прямоугольных матриц: X и транспозирование к D. Если бы все элементы этих матриц коммутировали бы, тогда было бы известно что детерминант E может быть выражен т.н. Формула Бине — Коши через миноры X и D. Аналог формулы существует для матрицы E снова за небольшую цену коррекции  E \rightarrow (E+(n-i)\delta_{ij}) :

\det(E+(n-i)\delta_{ij}) = \sum_{I=(1\le i_1<i_2<\cdots <i_n \le m)} \det(X_{I}) \det(D^t_{I}),

В частности (подобно коммутативному случаю): if m<n, then \det(E+(n-i)\delta_{ij}) =0 ; if m=n мы возвращаем тождество выше.

Упомянем что подобно коммутативному случаю, можно выразить не только детерминант E, но и его миноры через миноры X и D:

\det(E+(s-i)\delta_{ij})_{KL} = \sum_{I=(1\le i_1<i_2< \cdots <i_s \le m)} \det(X_{KI}) \det(D^t_{IL}),

Здесь K = (k1 < k2 < ... < ks), L = (l1 < l2 < ... < ls), произвольные мульти-индексы; как обычно M_{KL} обозначает подматрицу M образуемую элементами M kalb. Обратите внимание, что коррекция Капелли теперь содержит s, не n как в предыдущей формуле. Заметим, что для s=1, коррекция (s − i) исчезает и мы получаем просто определение E как произведение X и транспозирование к D. Заметим, что для общей K,L соответствующие миноры не коммутируют со всеми элементами Eij, так что тождество Капелли существует не только для центральных элементов.

Как вывод этой формулы и той для характеристичного многочлена в предыдущей секции давайте упомянем следующее:

\det(t+E+(n-i)\delta_{ij}) = t^{[n]}+\sum_{k=n-1,\dots,0}t^{[k]} \sum_{I,J}  \det(X_{IJ}) \det(D^t_{JI}),

где  I=(1\le i_1<\cdots <i_k \le n),  J=(1\le j_1< \cdots <j_k \le n) . Эта формула подобна коммутативному случаю, модула +(n-i)\delta_{ij} слева и t[n] взамен tn, которая справа.

Соотношение с двойными парами

Современный интерес к этим группам значительно стимулируется Роджером Хоув кто рассмотрел их в своей теории редуктивных двойных пар (также известной как двойственность Хоува). Чтобы сделать первый контакт с этими идеями, давайте посмотрим более пристально на операторы E_{ij} . Такие операторы сохраняют степень многочленов. Рассмотрим многочлены 1 степени: E_{ij} x_{kl} = x_{il} \delta_{jk} , мы видим что индекс l сохранён. С точки зрения теории представлений многочлены первой степени могут быть определены прямым сложением представлений \mathbb{C}^n \oplus \cdots \oplus \mathbb{C}^n , здесь l-ое подпространство (l=1...m) заполнено  x_{il} , i = 1, ..., n. Посмотрим ещё раз на векторное пространство:

\mathbb{C}^n \oplus \cdots \oplus \mathbb{C}^n = \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m  .

Такая точка зрения даёт первую подсказку о симметрии между m и n. Чтобы углубить эту мысль, рассмотрим:

E_{ij}^\text{dual} = \sum_{a=1}^n x_{ai}\frac{\partial}{\partial x_{aj}}.

Эти операторы задаются теми же формулами, что и E_{ij} перенумерация модула i \leftrightarrow j, следовательно теми же самыми аргументами мы можем вывести что E_{ij}^\text{dual} формирует представление алгебры Ли \mathfrak{gl}_m в векторном пространстве многочленов xij. Прежде, чем идти далее мы можем упомянуть следующее свойство: дифференциальные операторы E_{ij}^\text{dual} коммутируют с дифференциальными операторами E_{kl} .

Группа Ли GL_n \times  GL_m действует в векторном пространстве  \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m  естественным образом. Можно показать, что соответствующее действие алгебры Ли \mathfrak{gl}_n \times \mathfrak{gl}_m задается дифференциальными операторами E_{ij}~~~~ и  E_{ij}^\text{dual} соответственно. Это объясняет коммутативность этих операторов.

Следующие глубокие свойства фактически справедливы:

  • Единственные дифференциальные операторы, коммутирующие с E_{ij}~~~~ многочлены в  E_{ij}^\text{dual} , и наоборот.
  • Разложение векторного пространства многочленов в прямую сумму тензорных произведений неприводимых представлений GL_n and   GL_m может быть дано следующим образом:
\mathbb{C} [x_{ij}] = S(\mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m) = \sum_D \rho_n^D \otimes\rho_m^{D'}.

Слагаемые индексируются диаграммой Юнга D, и представления \rho^D взаимно неизоморфны. Диаграмма {D} определяет  {D'} и наоборот.

  • В частности представление большой группы  GL_n \times  GL_m безмножественно, то есть каждое неприводимое представление происходит только один раз.

Легко заметить сильное сходство с Шур-Вейл двойственностью.

Обобщения[править | править исходный текст]

Большая работа была сделана по тождеству и его обобщению. Примерно два десятка математиков и физиков способствовало этому вопросу, назовём несколько: Р. Хоув, Б. Констант[1][2], филдсовский медалист А. Окуньков[3][4], А. Сокал,[5] Д. Зеильбергер.[6]

Кажется, исторически первые обобщения были получены Гербертом Вестреном Тарнбуллом в 1948,[7] который вывел обобщение для случая симметричных матриц (смотреть [5][6] для современного лечения).

Другие обобщения могут быть разделены на несколько моделей. Большинство из них основаны на точке зрения алгебры Ли. Такие обобщения состоят из изменения алгебры Ли \mathfrak{gl}_n к Полупростой группе Ли [8] и их супер[9][10] (q),[11][12] и текущей версии.[13] Также тождество может быть обобщено для редуктивных двойных пар.[14][15] И, наконец, можно рассматривать не только детерминант матрицы E, но его перманент,[16] след сил и иммананты.[3][4][17][18] Упомянем ещё несколько бумаг;[19][20][21] [22] [23] [24] [25] список примечаний ещё невелик. Считалось в течение долгого времени, что тождество глубоко связано с полупростой группой Ли. Удивительно, новое чисто алгебраическое обобщение тождества было найдено в 2008[5] С. Карасиолло, А. Спортиелло, А. Сокалем не имеет отношение к алгебре Ли.

Тождество Тарнбулла для симметричных матриц[править | править исходный текст]

Рассмотрим симметричные матрицы


X=\begin{vmatrix}  
x_{11} & x_{12} &   x_{13} &\cdots & x_{1n} \\ 
x_{12} & x_{22} &   x_{23} &\cdots & x_{2n} \\
x_{13} & x_{23} &   x_{33} &\cdots & x_{3n} \\
\vdots& \vdots  & \vdots   &\ddots & \vdots \\
x_{1n} & x_{2n} &   x_{3n} &\cdots & x_{nn}
\end{vmatrix},
D=\begin{vmatrix}  
2 \frac{\partial} { \partial x_{11} } & \frac{\partial} {\partial x_{12}} & \frac{\partial} { \partial x_{13}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{1n} } \\[6pt]
\frac{\partial} {\partial x_{12} } & 2 \frac{\partial} {\partial x_{22}} & \frac{\partial} { \partial x_{23}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{2n} } \\[6pt]
\frac{\partial} {\partial x_{13} } & \frac{\partial} {\partial x_{23}} & 2\frac{\partial} { \partial x_{33}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{3n} } \\[6pt]
\vdots& \vdots  & \vdots   &\ddots & \vdots \\
\frac{\partial} {\partial x_{1n} } & \frac{\partial} {\partial x_{2n}} & \frac{\partial} { \partial x_{3n}} &\cdots & 2 \frac{\partial}{\partial x_{nn} }
\end{vmatrix}

Герберт Вестрен Тарнбулл[7] в 1948 открыл следующее тождество:

\det(XD+(n-i)\delta_{ij}) = \det(X) \det(D) \,

Комбинаторное доказательство можно найти в работе,[6] еще одно доказательство и забавные обобщения в работе,[5] см. также обсуждение ниже.

Тождество Хоув-Умеда-Констант-Сахи для антисимметричных матриц[править | править исходный текст]

Рассмотрим антисимметричные матрицы


X=\begin{vmatrix}  
0       & x_{12} &   x_{13} &\cdots & x_{1n} \\ 
-x_{12} & 0      &   x_{23} &\cdots & x_{2n} \\
-x_{13} & -x_{23} &   0     &\cdots & x_{3n} \\
\vdots& \vdots  & \vdots   &\ddots & \vdots \\
-x_{1n} & -x_{2n} &   -x_{3n} &\cdots & 0
\end{vmatrix},
D=\begin{vmatrix}  
0 & \frac{\partial} {\partial x_{12}} & \frac{\partial} {\partial  x_{13}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{1n} } \\[6pt]
-\frac{\partial} { \partial x_{12} } & 0 & \frac{\partial} { \partial x_{23}} &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{2n} } \\[6pt]
-\frac{\partial} {\partial x_{13} } & -\frac{\partial} {\partial x_{23}} & 0 &\cdots & \frac{\partial}{\partial x_{3n} } \\[6pt]
\vdots& \vdots  & \vdots   &\ddots & \vdots \\[6pt]
-\frac{\partial} {\partial x_{1n} } & -\frac{\partial} {\partial x_{2n}} & -\frac{\partial} {\partial  x_{3n}} &\cdots & 0 
\end{vmatrix}.

Тогда

\det(XD+(n-i)\delta_{ij}) = \det(X) \det(D). \,

Тождество Карасиолло-Спортиелло-Сокал для матриц Манина[править | править исходный текст]

Рассмотрим две матрицы М и Y над некоторым ассоциативным кольцом, которое удовлетворяет условию


[M_{ij}, Y_{kl}]= -\delta_{jk} Q_{il} ~~~~~

для некоторых элементов Qil. Или ”в словах”: элементы в j-ой столбце M коммутирует с элементами k-ого ряда Y пока j = k, и в этом случае коммутатор элементов Mik и Ykl зависит только от i, l, но не от k.

Предположим, что M это матрица Манина (простейшим примером является матрица с коммутирующими элементами).

Тогда для случая квадратной матрицы

\det(MY+ Q \,\mathrm{diag}(n-1, n-2, \dots , 1,0) ) = \det(M) \det(Y). 
 ~~~~~~~

Здесь Q это матрица с элементами Qil, и диагональю(n − 1, n − 2, ..., 1, 0) означает диагональную матрицу с элементами n − 1, n − 2, ..., 1, 0 на диагонали.

См. [5] предложение 1.2' формула (1.15) стр. 4, наша Y это транспозиция к их  B.

Очевидно, оригинальное тождество Каппели - особый случай этой тождества. Кроме того, от этого тождества каждый видит, что в оригинальном тождестве Каппели можно рассмотреть элементы


 \frac{\partial} {\partial x_{ij} } + f_{ij}(x_{11},\dots,x_{kl},\dots)

для произвольных функций fij и тождество продолжает оставаться верным.

Тождество Мухина-Тарасова-Варченко и модель Годена[править | править исходный текст]

Формулировка[править | править исходный текст]

Рассмотрим матрицыX и D как в тождестве Капелли, т.е. с элементами  x_{ij} и  \partial_{ij} на позиции (ij).

Назначим z другой формальной переменной (коммутирующей с x). Назначим A и B некоторыми матрицами элементы которой комплексные числа.


\det\left(  \frac{\partial}{\partial_z} - A  - X \frac{1}{z-B} D^t   \right)
Невозможно разобрать выражение (Преобразование в PNG прошло с ошибкой — проверьте правильность установки latex и dvips (или dvips + gs + convert)): ={\det}^\text{рассчитать, как будто все коммутируют}_{\text{Поместить все }x\text{ и }z\text{ слева, в то время как все дифференцирования справа}}

\left(  \frac{\partial}{\partial_z} - A  - X \frac{1}{z-B} D^t   \right)

Здесь первый детерминант понят (как всегда) как детерминант колонки матрицы с некоммутативными записями. Детерминант справа вычислен, как будто все элементы коммутированы, и помещающий все x и z слева, в то время как дифференцирования справа (такой рецепт называется Нормальным порядком в квантовой механике).

Квантовая интегрируемая система Годена и теорема Талалаева[править | править исходный текст]

Матрица


L(z) =  A  + X \frac{1}{z-B} D^t

это матрица Лакса для квантовой интегрируемой система спиновая цепочка Годена. Д. Талалаев решил давнюю проблему явного решения для полного набора законов сохранения квантового коммутирования в модели Годена, открыв следующую теорему.

Положим


\det\left(\frac{\partial}{\partial_z} - L(z) \right) =\sum_{i=0}^n H_i(z) \left(\frac{\partial}{\partial_z}\right)^i.

Тогда для всех i,j,z,w


[ H_i(z), H_j(w) ]= 0, ~~~~~~~~

т.е. Hi(z) генерируют функции в z для дифференциальных операторов в x which all commute. Так что они дают законы сохранения квантового коммутирования в модели Годена.

Перманенты, иммананты, след матрицы – "более высокие тождества Капелли"[править | править исходный текст]

Оригинальное тождество Капелли является утверждением о детерминантах. Позже аналогичные тождества были найдены для перманентов, имманентов и следа матрицы. Основываясь на документе комбинаторного подхода С.Г. Уильямсона[26] был один из первых результатов в этом направлении.

Тождество Тарнбулла для перманент антисимметричных матриц[править | править исходный текст]

Рассмотрим антисимметричные матрицы X и D с элементами xij и соответствующие дифференциации, как в случае ХУКС выше.

Тогда

Невозможно разобрать выражение (Преобразование в PNG прошло с ошибкой — проверьте правильность установки latex и dvips (или dvips + gs + convert)): \mathrm{perm}(X^tD -(n-i)\delta_{ij}) = \mathrm{perm}^\text{рассчитать, как будто все коммутируют}_{\text{Поместить все }x\text{ слева, в то время как все дифференцирования справа}} ( X^t D).

Процитируем:[6] "...говорится без доказательства в конце бумаги Тарнбулла". Сами авторы следуют Тарнбуллу - в самом конце их бумаги они пишут:

"Так как доказательство этого последнего тождества очень похоже на доказательства симметричного аналога Тарнбулла (с небольшим отклонением), мы оставляем его в качестве поучительного и приятного учения для читателя.".

Тождество глубоко проанализировано в работе .[27]

Ссылки[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Kostant, B. & Sahi, S. (1991), "«The Capelli Identity, tube domains, and the generalized Laplace transform»", Advances in Math. Т. 87: 71–92, DOI 10.1016/0001-8708(91)90062-C 
  2. Kostant, B. & Sahi, S. (1993), "«Jordan algebras and Capelli identities»", Inventiones Mathematicae Т. 112 (1): 71–92, DOI 10.1007/BF01232451 
  3. 1 2 Okounkov, A. (1996), «Quantum Immanants and Higher Capelli Identities» 
  4. 1 2 Okounkov, A. (1996), «Young Basis, Wick Formula, and Higher Capelli Identities» 
  5. 1 2 3 4 5 Caracciolo, S.; Sportiello, A. & Sokal, A. (2008), «Noncommutative determinants, Cauchy–Binet formulae, and Capelli-type identities. I. Generalizations of the Capelli and Turnbull identities» 
  6. 1 2 3 4 Foata, D. & Zeilberger, D. (1993), «Combinatorial Proofs of Capelli's and Turnbull's Identities from Classical Invariant Theory» 
  7. 1 2 Turnbull, Herbert Westren (1948), "«Symmetric determinants and the Cayley and Capelli operators»", Proc. Edinburgh Math. Soc. Т. 8 (2): 76–86, DOI 10.1017/S0013091500024822 
  8. Molev, A. & Nazarov, M. (1997), «Capelli Identities for Classical Lie Algebras» 
  9. Molev, A. (1996), «Factorial supersymmetric Schur functions and super Capelli identities» 
  10. Nazarov, M. (1996), «Capelli identities for Lie superalgebras» 
  11. Noumi, M.; Umeda, T. & Wakayma, M. (1994), "«A quantum analogue of the Capelli identity and an elementary differential calculus on GLq(n)»", Duke Mathematical Journal Т. 76 (2): 567–594, doi:10.1215/S0012-7094-94-07620-5, <http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077286975> 
  12. Noumi, M.; Umeda, T. & Wakayma, M. (1996), "«Dual pairs, spherical harmonics and a Capelli identity in quantum group theory»", Compositio Mathematica Т. 104 (2): 227–277, <http://www.numdam.org/item?id=CM_1996__104_3_227_0> 
  13. Mukhin, E.; Tarasov, V. & Varchenko, A. (2006), «A generalization of the Capelli identity» 
  14. Itoh, M. (2004), "«Capelli identities for reductive dual pairs»", Advances in Mathematics Т. 194 (2): 345–397, DOI 10.1016/j.aim.2004.06.010 
  15. Itoh, M. (2005), "«Capelli Identities for the dual pair ( O M, Sp N)»", Mathematische Zeitschrift Т. 246 (1–2): 125–154, DOI 10.1007/s00209-003-0591-2 
  16. Nazarov, M. (1991), "«Quantum Berezinian and the classical Capelli identity»", Letters in Mathematical Physics Т. 21 (2): 123–131, DOI 10.1007/BF00401646 
  17. Nazarov, M. (1996), «Yangians and Capelli identities» 
  18. Molev, A. (1996), «A Remark on the Higher Capelli Identities» 
  19. Kinoshita, K. & Wakayama, M. (2002), "«Explicit Capelli identities for skew symmetric matrices»", Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society Т. 45 (2): 449–465, DOI 10.1017/S0013091500001176 
  20. Hashimoto, T. (2008), «Generating function for GLn-invariant differential operators in the skew Capelli identity» 
  21. Nishiyama, K. & Wachi, A. (2008), «A note on the Capelli identities for symmetric pairs of Hermitian type» 
  22. Umeda, Toru (2008), "«On the proof of the Capelli identities»", Funkcialaj Ekvacioj Т. 51 (1): 1–15, DOI 10.1619/fesi.51.1 
  23. Brini, A & Teolis, A (1993), "«Capelli's theory, Koszul maps, and superalgebras»", PNAS Т. 90 (21): 10245–10249, <http://www.pnas.org/content/90/21/10245.short> 
  24. Koszul, J (1981), "«Les algebres de Lie graduées de type sl (n, 1) et l'opérateur de A. Capelli»", C.R. Acad. Sci. Paris (no. 292): 139–141 
  25. Orsted, B & Zhang, G (2001), «Capelli identity and relative discrete series of line bundles over tube domains», <http://www.math.chalmers.se/Math/Research/Preprints/2001/13.pdf> 
  26. Williamson, S. (1981), "«Symmetry operators, polarizations, and a generalized Capelli identity»", Linear & Multilinear Algebra Т. 10 (2): 93–102, DOI 10.1080/03081088108817399 
  27. Umeda, Toru (2000), "«On Turnbull identity for skew-symmetric matrices»", Proc. Edinburgh Math. Soc. Т. 43 (2): 379–393, DOI 10.1017/S0013091500020988