Андреевское отражение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Электрон (красная частица) падающий на границу между нормальным проводником (N) и сверхпроводником (S) создаёт куперовскую пару в сверхпроводнике и отражается обратно в виде дырки (зеленая частица) в обычный проводник. Вертикальные стрелки показывают ориентацию спина.

Андреевское отражение — процесс отражения электрона, падающего из нормального металла на границу со сверхпроводником, при котором электрон превращается в дырку, меняет обе компоненты скорости на противоположные (при ретро-отражении), а в сверхпроводник попадает два электрона (куперовская пара). Названо по имени Александра Фёдоровича Андреева, теоретически предсказавшего такой тип отражения в 1964 году [1]. В то же время существует зеркальное андреевское отражение[⇨] при котором дырка не меняет проекцию скорости на границу. Этот эффект предсказан Бинаккером в 2006 году.

Суть явления[править | править код]

Основное состояние электронов в нормальном металле при температуре, стремящейся к абсолютному нулю, — заполненные состояния с энергией ниже, чем энергия Ферми, и пустые состояния с энергией выше фермиевской. Элементарные возбуждения — электроны и дырки — могут иметь сколь угодно малую энергию. С другой стороны, спектр возбуждений в сверхпроводнике имеет зону запрещенных энергий (т.н. полная сверхпроводящая щель). Поэтому проникновение в сверхпроводник из нормального металла электрона или дырки, энергия которых, отсчитанная от уровня Ферми , лежит ниже щели (), а также лежит в диапазоне щели вплоть до , является невозможным. Если к контакту нормальный металл — сверхпроводник приложено напряжение , такое что , электрический ток через контакт за счёт прямого перехода электронов будет определяться лишь носителями, термически активированными выше щели, и будет экспоненциально мал.

В этой ситуации ток создаётся процессом андреевского отражения. Электрон, налетающий на границу, может превратиться в дырку с той же энергией возбуждения. Так как заряд дырки противоположен заряду электрона, то при андреевском отражении, по закону сохранения заряда, заряд, равный удвоенной величине заряда электрона, переносится в сверхпроводник, образуя там куперовскую пару. Таким образом, ток через NS-контакт примерно удваивается, что выражается на вольтамперной характеристике контакта как линейный участок с удвоенным наклоном при малых напряжениях . При вольтамперная характеристика идет линейно вдоль омического закона.

В простейшем случае изотропного металла без магнитного поля и магнитной структуры, и сверхпроводника с s-спариванием процесс происходит следующим образом. При андреевском отражении сохраняется энергия возбуждения, то есть квазичастица переходит с электронной ветви в спектре возбуждений на дырочную с той же энергией. Импульс электрона при этом несколько отличается от импульса дырки, однако изменение импульса пренебрежимо мало по сравнению с импульсом Ферми. Однако групповая скорость дырки, (где и обозначают энергию и импульс квазичастиц) противоположна групповой скорости электрона. Поэтому в координатном пространстве дырка двигается по траектории электрона, но в обратном направлении (англ. retroreflection). Иными словами, при андреевском отражении квазичастица меняет обе компоненты скорости на противоположные (при обычном отражении только нормальная компонента меняет знак). Так как в куперовской паре спины двух электронов противоположны, спины электрона и дырки также противоположны.

Теоретическое описание[править | править код]

Слева: Закон дисперсии для частиц из зоны проводимости. Закон дисперсии для электронов показана синей линией, а красным показан закон дисперсии для дырок. Справа: Закон дисперсии для сверхпроводника. Прерывистой линией показан уровень Ферми, когда энергии соответствует четыре волновых вектора.

Большинство теоретических методов, использующиеся для описания андреевского отражения, основаны на методе функций Грина. Так как описание, основанное на функциях Грина, для сверхпроводников громоздко, используют квазиклассическое приближение — уравнения Эйленбергера для чистых систем и уравнения Узаделя в случае, когда концентрация примесей достаточно высока[2]. Однако для большинства задач удаётся ещё более упростить формализм и использовать интуитивно понятные уравнения Боголюбова — де Жена, которые просто являются обобщением уравнения Шрёдингера на случай системы, содержащей как электроны, так и дырки.

BTK-теория[3] использует последнее приближение для нахождения характеристик ток-напряжение через контакт металл-сверхпроводник. Теория рассматривает одномерную задачу для чистых материалов, где волновой вектор частиц — это хорошее квантовое число и имеет один свободный параметр: высота барьера на границе. Уравнение Боголюбова — де Жена для сверхпроводника записываются в виде

где — постоянная планка, m — масса электрона, k — волновой вектор частицы, μхимический потенциал, Δ =Δ0e — сверхпроводящая щель, φ — фаза сверхпроводника, u и v — электронная и дырочные волновые функции, Gδ(x) — дельта-функция с амплитудой G. Собственные значения энергии ε находятся из характеристического уравнения

.

На рисунке показаны дисперсионные соотношения для случая металла и сверхпроводника[4].

Из двух решений этого уравнения рассматривают только положительную энергию. Тогда для металла, где Δ = 0, найдётся четыре волновых вектора (при ε < μ) отвечающие плоским решениям для плоских волн. В таблице приведены все решения уравнения. Для электронов используется индекс "e", а для дырок с положительной энергией, то есть из зоны проводимости — индекс "h". В случае сверхпроводника, когда |Δ| > 0, следует различать два случая. Когда энергия ε > |Δ|, то существуют решения в виде плоских волн. Второй случай соответствует условию ε < |Δ|, когда существуют решения в виде затухающих волн, отвечающие известному эффекту подбарьерного туннелирования в квантовой механике.

Решение уравнения Боголюбова — де Жена
Параметр Металл Сверхпроводник ε > Δ0 Сверхпроводник ε < Δ0
Волновые векторы для электронов , ε > Δ0 , ε < Δ0
Волновые векторы для дырок , ε > Δ0 , ε < Δ0
Электронные волновые функции
Дырочные волновые функции
Амплитуды электронные
Амплитуды дырочные

Теперь если использовать стандартную теорию для матрицы рассеяния в одномерном случае, где падающая, отражённая и прошедшая волны записываются в приведённой выше форме, то можно получить уравнения для коэффициентов отражения и прохождения, используя условия непрерывности волной функции на границе и условие скачка производной на границе в случае добавления дельта потенциала произвольной высоты. Для вывода также условие на групповую скорость, чтобы ток вероятности переносился согласно определению для падающей, отражённой и прошедшей волн, и рассматривается только одна падающая волна для электрона, а остальные рассеянные. Групповые скорости различаются для металла ve/h и сверхпроводника we/h

,
,

причём видно что в сверхпроводнике групповая скорость приближается к нулю при приближении энергии к ширине щели. В случае андреевского отражения, когда уровень Ферми много больше энергии частиц и щели амплитуды рассеяния (отражения и прохождения) запишутся в виде

,
,
,
,

где параметр определяющий прозрачность барьера. Соответствующие вероятности будут иметь вид квадратов модулей амплитуд. Полностью прозрачный барьер приведёт к занулению процесса e → e, то есть будет полностью отсутствовать отражение электрона, в то время как для процесса e → h получится следующее выражение ε < Δ0

,

а соответствующая вероятность будет равна 1. При больших энергиях ε > Δ0 амплитуда будет затухать при росте энергии

Андреевская проводимость[править | править код]

Необычное андреевское отражение[править | править код]

Граница нормальный металл — ферромагнетик[править | править код]

Сверхпроводник с d-спариванием[править | править код]

Графен[править | править код]

Слева: Закон дисперсии для графена . Зона проводимости для электронов показана красными линиями, а синими точечными линиями показана валентная зона для дырок. В центре: зона проводимости показана для дисперсионного соотношения . Синей сплошной линией показаны дырочные возбуждения в зоне проводимости. Справа: Закон дисперсии при нулевой энергии Ферми

Уравнение Боголюбова — де Жена для сверхпроводника имеет вид[5]

где H — гамильтониан для одной частицы, EFуровень Ферми, Δ — энергетическая щель или параметр порядка, u и v — электронная и дырочные волновые функции, Θ — оператор инверсии времени, который вводится таким соотношением

где Cкомплексное сопряжение. Так ε > 0 положительная энергия квазичастиц отсчитанная от уровня Ферми. В случае нормального состояния уравнения для электронов и дырок разделяются и решения независимы и симметричны по энергии. При включении взаимодействия между электронной и дырочной составляющими посредством парного потенциала Δ формируются связные состояния электронов и дырок. Без конкретного вида одночастичного гамильтониана уравнение Боголюбова — де Жена можно применить для любого закона дисперсии. В случае же графена с его линейной связью между энергией и волновым вектором гамальтониан примет вид

σx, σy, σzматрицы Паули действующие не в спиновом пространстве, а в пространстве подрешёток ещё называемых псевдоспином, vF — фермиевская скорость, U — потенциальная энергия, которая отрицательна в области под сверхпроводником, |k|2=kx2+ky2 — квадрат волнового вектора. Подставляя этот гамильтониан в уравнение Боголюбова — де Жена получим систему из восьми дифференциальных уравнений с волновыми функциями , . Эта система распадается на две системы по четыре уравнения, приводя к уравнениям Дирака — Боголюбова — де Жена с дисперсионным соотношением

При выводе уравнения Боголюбова — де Жена принималось во внимание приближение среднего поля, при котором длина когерентности сверхпроводника много больше фермиевской длины в сверхпроводнике , но соотношение этих величин для сверхпроводника и нормального металла не имеет ограничений, и возможны два предельных случая, когда и . Эти два случая принципиально различаются: в случае если энергия электрона , то при наблюдается обычное андреевское отражение, а при возникает зеркальное андреевское отражение, когда отражённая дырка сохраняет проекцию скорости на границу. Для графена также наблюдается отсутствие отражения при нормальном падении электронов на границу сверхпроводник-металл при любой разнице уровней Ферми благодаря сохранению киральности в отличие от нормального металла где существует отражение.

Контакт сверхпроводник — изолятор высокой прозрачности — сверхпроводник[править | править код]

Когда два сверхпроводника слабо связаны, например, в структуре сверхпроводник-изолятор-сверхпроводник (SIS), сверхток может протекать вследствие эффекта Джозефсона, который возникает из-за фиксированного различия фаз волновых функций носителей тока в двух сверхпроводниках поперек прослойки нормального металла[6] [7]. Такая приборная структура известна как джозефсоновский переход, причем максимальная величина сверхтока, протекающего через переход, определяется как джозефсоновский критический ток, Ic. В наиболее чистых обычных металлических переходах произведение сверхтока и сопротивления в нормальном состоянии является постоянной величиной, которая пропорциональна величине сверхпроводящей щели БКШ — , то есть IcRn=πΔ/2e, где Ic — это джозефсоновский критический ток, а Rn — это сопротивление металла в нормальном состоянии (формула Амбегаокара–Баратова). Произведение IcRn независимо от геометрии образца, поскольку одни и те же зависимые от геометрии образца параметры самоликвидируются в выражениях для Ic и Rn. Интересно, что новый мезоскопический режим возникает, когда ширина, w, нормального проводника сокращается, чтобы стать сравнимой с длиной волны Ферми, λF, носителей заряда, и его проводимость в нормальном состоянии становится квантованной в единицах e²/h, где e — заряд электрона, а h — постоянная Планка, слабо завися от ограничений, накладываемых на значение длины канала, которые обусловлены формированием одномерных подзон[8] [9]. Было предсказано [10], что универсальное произведение IcRn=πΔ/2e также играет важную роль в коротких джозефсоновских переходах с дискретными поперечными модами, где каждая из N мод формирует независимый уровень, связанный с андреевским отражением, и одинаковым образом вносит вклад в общий сверхток [11]. Таким образом, Ic=2πNeΔ/h, хотя такой режим и не был достигнут экспериментально[12] [13]. В большинстве предыдущих исследований сандвичей типа SIS структур, для того чтобы формировать переходы были использованы обычные металлы. В этих переходах сложно достигнуть режима, при котором wF, поскольку желательно реализовать стабильный и контролируемый переход шириной несколько атомных слоев [14]. Это ограничение может быть преодолено при использовании полупроводников вследствие наличия в них низкой плотности носителей заряда и соответственно большой длины волны Ферми, так как λF=2π/kF=(2π/p2D)1/2, где kF — Фермиевский волновой вектор, а p2D — двумерная концентрация дырок в яме.

Связанные состояния и эффект Джозефсона[править | править код]

Многократное Андреевское отражение[править | править код]

Андреевская интерферометрия[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Андреев А. Ф.  // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. — М., 1964. — Т. 46. — С. 1823.
  2. А. В. Свидзинский. Пространственно-неоднородные задачи теории сверхпроводимости. — Наука (Москва), 1982. — P. 141—157. — ISBN 9780521832465..
  3. G. E. Blonder, M. Tinkham, and T. M. Klapwijk. Transition from metallic to tunneling regimes in superconducting microconstrictions: Excess current, charge imbalance, and supercurrent conversion (англ.) // Phys. Rev. B. — 1982. — Vol. 25. — P. 4515. — DOI:10.1103/PhysRevB.25.4515.
  4. Dolcini F. Andreev Reflection (англ.) // Lecture Notes for XXIII Physics GradDays. — 2009.
  5. Beenakker C. W. J. Specular Andreev reflection in graphene (англ.) // Phys. Rev. Lett.. — 2006. — Vol. 97. — P. 067007. — DOI:10.1103/PhysRevLett.97.067007.
  6. Tinkham M. Introduction in Superconductivity. — Dover New York, 1996.
  7. Likharev K.K. Superconducting weak links // Rev. Mod. Phys.. — 1979. — Т. 51. — С. 101.
  8. Thornton T.J., Pepper M., Ahmed H., Andrews D., Davis G.J. One-dimentional conduction in the 2D electron gas of a GaAs-AlGaAs heterojunction // Phys. Rev. Letters. — 1986. — Т. 56. — С. 1198.
  9. van Wees B.J., van Houten H., Beenakker C.W.J., Williamoson J.G., Kouwenhowen D., van der Marel, Foxon C.W.J. Quantized conductance of point contact in two dimentional electron gas // Phys. Rev. Letters. — 1988. — Т. 60. — С. 848.
  10. Beenakker C.W.J., van Houten H. Josephson current through a superconducting quantum point contact shorter than the coherence length // Phys. Rev. Letters. — 1991. — Т. 66. — С. 3056.
  11. Klapwijk T.M. Proximity effect from an Andreev perspective // Journal of Superconductivity Incorporating Novel Magnetism. — 2004. — Т. 17. — С. 593.
  12. Takayanagi H., Akazaki T., Nitta J. Observation of maximum supercurrent quantization in a superconducting quantum point-contact. — Phys. Rev. Letters, 1995. — Т. 75. — С. 3533.
  13. Bauch T., Hurfeld E., Krasnov V.M., Delsing P., Takayanagi H., Akazaki T. Correlated quantization of supercurrent and conductance in a superconducting quantum point contact // Phys. Rev. B. — 2005. — Т. 71. — С. 174502.
  14. Muller C.J., Vanruitenbeek J.M., De Jongh L. J. Conductance and supercurrent discountinuities in atomic-scale metallic constrictions of variable width // Phys. Rev. Letters. — 1992. — Т. 69. — С. 140.

Литература[править | править код]