Матрицы Паули

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ма́трицы Па́ули — это набор из трёх эрмитовых 2×2 матриц, составляющий базис в пространстве всех эрмитовых 2×2 матриц с нулевым следом. Были предложены Вольфгангом Паули для описания спина электрона в квантовой механике. Матрицы имеют вид

Вместо иногда используют обозначение

Часто также употребляют матрицу

совпадающую с единичной матрицей.

Матрицы Паули вместе с матрицей образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц 2×2 (а не только матриц с нулевым следом).

Свойства[править | править вики-текст]

Основные соотношения[править | править вики-текст]

  • Эрмитовость:
  • Равенство нулю следа:
  • где  — единичная матрица размерности 2×2.
  • Определитель матриц Паули равен −1.
  • Алгебра, порождённая элементами , изоморфна алгебре кватернионов .

Правила умножения матриц Паули

для

Эти правила умножения можно переписать в компактной форме

,

где  — символ Кронекера, а εijk — символ Леви-Чивиты.

Из этих правил умножения следуют коммутационные соотношения

Квадратные скобки означают коммутатор, фигурные — антикоммутатор.

Связь с алгебрами Ли[править | править вики-текст]

Коммутационные соотношения матриц совпадают с коммутационными соотношениями генераторов алгебры Ли su(2). И действительно, вся эта алгебра, состоящая из антиэрмитовых матриц 2×2, может быть построена из произвольных линейных комбинаций матриц Группа SU(2) с алгеброй su(2) локально изоморфна группе SO(3) вращений трёхмерного пространства; в частности этим объясняется важность матриц Паули для физики.

Применение в физике[править | править вики-текст]

В квантовой механике матрицы представляют собой генераторы инфинитезимальных вращений для нерелятивистских частиц со спином ½. Элементы матрицы спинового оператора для частиц с полуцелым спином выражаются через матрицы Паули[1] как

Вектор состояния таких частиц представляет собой двухкомпонентный спинор[2]. Двухкомпонентные спиноры образуют пространство фундаментального представления группы SU(2).

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. § 55. Оператор спина // Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2001. — С. 258. — 808 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0057-2.
  2. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. § 56. Спиноры // Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2001. — С. 258. — 808 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0057-2.

Литература[править | править вики-текст]