Аффинно-квадратичная функция

Аффи́нно-квадрати́чная фу́нкция — аналог понятия квадратичная форма для аффинных пространств.

Определение

Пусть далее $S$ — аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством $V$ над полем $\mathbb {K}$, характеристика которого не равна $2$.

Через координаты

Функция $Q:S\to \mathbb {K}$ называется аффинно-квадратичной, если в некотором репере она задаётся при помощи квадратичного многочлена (или многочлена меньшей степени) от координат, то есть

$Q(P)=\sum _{1\leq i\leq j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}x_{i}+c$.

В отличие от классического понятия квадратичной функции коэффициентам $a_{ij}$ разрешается быть одновременно нулями. Таким образом, многочлен может быть и линейным, и постоянным.

Через квадратичную форму

Функция $Q:S\to \mathbb {K}$ называется аффинно-квадратичной, если для некоторой фиксированной точки $O\in S$ она задаётся соотношением

$Q(x+O)=q(x)+l(x)+c$,

где $x\in V$, $q$ — квадратичная форма на $V$, $l$ — линейная форма на $V$, $c$ — фиксированная константа $\mathbb {K}$.

Через биаффинную функцию

Можно дать определение аналогичное определению квадратичной формы через билинейную форму. Функцию $D:S\times S\to \mathbb {K}$ назовём биаффинной, если при фиксированном одном из параметров, функция аффинна, то есть если $\forall P\in S:D(P,\cdot ),D(\cdot ,P)$ — аффинные функции. Тогда $Q:S\to \mathbb {K}$ называется аффинно-квадратичной, если для некоторой биаффинной функции $D$

$Q(P)=D(P,P)$.

Связь с биаффинными функциями

Согласно третьему определению, любая функция вида $D(P,P)$, где $D$ — биаффинная функция, является аффинно-квадратичной, и любая аффинно-квадратичная функция $Q(P)$ может быть представлена как $D(P,P)$, где $D$ — некоторая биаффинная функция. Однако для определённой аффинно-квадратичной функции биаффинная функция, определяющая её, определена неоднозначно. Однозначное соответствие можно получить, если дополнительно потребовать симметричность $D$, то есть верно следующее утверждение:

Для любой аффинно-квадратичной функции $Q(P)$ существует и единственна симметричная биаффинная функция $D(P,R)$ такая, что $Q(P)=D(P,P)$. Таким образом между афинно-квадратичными функциями и симметричными биаффинными есть взаимооднозначное соответствие.

Через заданную аффинно-квадратичную функцию $Q$ соответствующая симметричная биаффинная функция $D$ может быть выражена следующим образом:

$D(P,R)=2Q\left({\frac {1}{2}}P+{\frac {1}{2}}R\right)-{\frac {1}{2}}Q(P)-{\frac {1}{2}}Q(R)$

Эта формула называется формулой поляризации (аналогично случаю квадратичных и билинейных форм). Суммы точек с коэффициентами здесь представляют собой аффинную комбинацию.

Все остальные биаффинные функции, определяющие данную аффинно-квадратичную функцию, получаются прибавлением к соответствующей симметричной произвольной антисимметричной биаффинной функции.

Преобразование при смене начала отсчёта

Согласно второму определению, для некоторой точки $O\in S$ любую аффинно-квадратичную функцию можно представить в виде $Q(x+O)=q(x)+l(x)+c$, где $q$ — квадратичная форма на $V$, $l$ — линейная форма на $V$, $c$ — фиксированная константа $\mathbb {K}$. Обратно, функция, задаваемая для определённой точки $O$ выражением $Q(x+O)=q(x)+l(x)+c$, является аффинно-квадратичной. Точку $O$ называют началом отсчёта.

На самом деле аффинно-квадратичная функция для любой точки $O\in S$ может быть задана в виде $Q(x+O)=q(x)+l(x)+c$. При этом квадратичная форма $q$ для заданной аффинно-квадратичной функции определена однозначно и не зависит даже от выбора точки $O$. Эта форма называется квадратичной частью $Q$. Матрица этой формы называется основной матрицей $Q$. Эта же матрица, по совместительству, является основной матрицей соответствующей симметричной биаффинной функции. Ранг основной матрицы называется малым рангом аффинно-квадратичной функции.

Форма $l$ и константа $c$ для заданной точки $O$ определены однозначно, однако для разных точек $O$ могут отличаться. Форма $l$ называется линейной частью $Q$ относительно точки $O$, а константа $c$ — постоянной частью относительно точки $O$.

При смене точки $O$ линейная и постоянная часть преобразуются следующим образом. Пусть $O'=O+a$ — новая точка, тогда $Q(O'+x)=q(x)+l'(x)+c'$ для некоторых $l'$ и $c'$. Эти $l'$ и $c'$ выражаются так:

$l'(x)=2b(a,x)+l(x)$

$c'=q(a)+l(a)+c$,

где $b$ — симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной форме $q$.

Преобразование при смене репера

Согласно первому определению, любую аффинно-квадратичную функцию в некотором репере можно представить в виде квадратичного многочлена (или многочлена меньшей степени) от координат. Верно большее: для любой аффинно-квадратичной функции это можно сделать в любом репере. Обратно, если функция задаётся квадратичным многочленом от координат, то она является аффинно-квадратичной.

Формулу в координатах можно получить из формулы через квадратичную форму. Пусть $(O,e)$ — репер, $A$ — матрица квадратичной части в базисе $e$, $B$ — вектор-строка координат линейной части относительно $O$ в базисе $e$, $c$ — постоянная часть относительно $O$. Тогда:

$Q(P)=x^{T}Ax+Bx+c$

С использованием понятия расширенной матрицы это выражение может быть записано ещё проще. Расширенной матрицей аффинно-квадратичной функции называется матрица

$A'={\begin{pmatrix}A&{\dfrac {B^{T}}{2}}\\{\dfrac {B}{2}}&c\end{pmatrix}}$

Тогда

$Q(P)={\begin{pmatrix}x^{T}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&{\dfrac {B^{T}}{2}}\\{\dfrac {B}{2}}&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}}=x'^{T}A'x'$

Правило преобразования коэффициентов при переходе к другому реперу также довольно просто записывается через расширенные матрицы. Пусть $T$ — матрица перехода от старого базиса к новому, $t$ — вектор-столбец координат нового начала отсчёта в старом репере. Тогда

$A'_{2}={\begin{pmatrix}A_{2}&{\dfrac {B'^{T}}{2}}\\{\dfrac {B'}{2}}&c'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T^{T}&0\\t^{T}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}&{\dfrac {B^{T}}{2}}\\{\dfrac {B}{2}}&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T&t\\0&1\end{pmatrix}}=T'^{T}A'_{1}T'$

Ранг расширенной матрицы называется большим рангом аффинно-квадратичной функции.

Связанные определения

• Аффинная квадрика — множество $X(Q)=\{P\in S:Q(P)=0\}$.
• Аффинно-квадратичные функции $Q_{1}$ и $Q_{2}$ называются аффинно эквивалентными, если существует такое аффинное преобразование $F$, что $Q_{1}(F(P))\equiv Q_{2}(P)$.
• Аффинно-квадратичные функции $Q_{1}$ и $Q_{2}$ на метрическом аффинном пространстве называются метрически эквивалентными, если существует такое движение $F$, что $Q_{1}(F(P))\equiv Q_{2}(P)$.

Центр

Центральной точкой аффинно-квадратичной функции $Q$ называется такая точка $O$ из $S$, что для любого $x$ из $V$ выполняется $Q(O+x)=Q(O-x)$. Множество всех центральных точек называется центром аффинно-квадратичной функции (некоторые авторы придерживаются иной терминологии: центрами они называют сами точки, а не их множество. Далее данная статья будет придерживаться первой терминологии).

Если центр $Q$ непуст, то такая аффинно-квадратичная функция называется центральной, а в противном случае нецентральной.

Точка $O$ является центром аффинно-квадратичной функции тогда и только тогда когда линейная часть относительно этой точки тождественно равна $0$.

Доказательство

$Q(O+x)-Q(O-x)=q(x)+l(x)+c-q(x)+l(x)-c=2l(x)=0\Rightarrow l(x)=0)$

Множество центров аффинно-квадратичной функции в координатах есть решение СЛАУ $Ax=-{\frac {B^{T}}{2}}$

Доказательство

$P$ — центр $\Leftrightarrow l'(x)\equiv 0$, где $l'$ — линейная часть относительно $P$. $l'(x)=2b(a,x)+l(x)$, где $P=O+a$, $l$ — линейная часть относительно начала отсчёта $O$, $b$ — симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной форме $q$. $l'(x)\equiv 0\Leftrightarrow 2b(a,x)+l(x)\equiv 0\Leftrightarrow 2a^{T}Ax+Bx\equiv 0\Leftrightarrow (2a^{T}A+B)x\equiv 0\Leftrightarrow 2a^{T}A+B=0\Leftrightarrow a^{T}A=-{\frac {B}{2}}\Leftrightarrow Aa=-{\frac {B^{T}}{2}}$

Квадратичная часть нецентральной аффинно-квадратичной функции вырождена (следует из предыдущего свойства и теоремы Кронекера — Капелли). Множество центров центральной аффинно-квадратичной функции является аффинным подпространством пространства $S$ размерности $\operatorname {dim} {S}-\operatorname {rk} {q}$, а его направляющее подпространство есть $\operatorname {ker} {q}$. Если квадратичная часть невырождена, то множество центров состоит из одной точки.

Нецентральная аффинно-квадратичная функция имеет хотя бы один нуль (следует из её канонического вида, который будет выведен далее).

Канонический вид

Канонический вид для центральной и нецентральной аффинно-квадратичной функции существенно отличаются друг от друга.

Центральный случай

Для приведения центральной аффинно-квадратичной функции к каноническому виду достаточно взять в качестве начала отсчёта любой из её центров, а в качестве базиса канонический базис для её квадратичной части. Тогда линейная часть обнулится, квадратичная примет канонический вид и аффинно-квадратичная функция примет вид:

$Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+c_{0}$, где $1\leq k\leq n$, все $\lambda _{i}\neq 0$.

Значение $c_{0}$ от выбора конкретного центра не зависит.

Нецентральный случай

Выберем базис, в котором квадратичная часть имеет канонический вид. Это приведёт аффинно-квадратичную функцию к виду $Q(P)=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}y_{i}^{2}+\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}y_{i}+c_{0}=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}(y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2\lambda _{i}}})^{2}+\sum _{i=k+1}^{n}\mu _{i}y_{i}+c'_{0}$, где $k<n$, так как квадратичная часть нецентральной аффинно-квадратичной функции вырождена. Если бы $\mu _{k+1},...,\mu _{n}=0$, то замена $z_{i}=y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2\lambda _{i}}}$ при $i=1,...,k$, $z_{i}=y_{i}$ при $i=k+1,...,n$ приведёт $Q$ к виду $\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}z_{i}^{2}+c'_{0}$, где линейная часть тождественно равна нулю, а значит, начало отсчёта является центром. Получается хотя бы один из коэффициентов $\mu _{k+1},...,\mu _{n}$ не равен нулю и можно сделать замену $x_{i}=y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2\lambda _{i}}}$ при $i=1,...,k$, $x_{k+1}=\mu _{k+1}y_{k+1}+...+\mu _{n}y_{n}+c'_{0}$, $x_{i}=y_{i}$ при $i=k+2,...,n$, которая приведёт аффинно-квадратичную функцию к каноническому виду:

$Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+x_{k+1}$, где $1\leq k<n$, все $\lambda _{i}\neq 0$.

Вопрос о единственности канонического вида аффинно-квадратичной функции сводится к вопросу о единственности канонического вида её квадратичной части. Если две аффинно-квадратичные функции имеют одинаковый канонический вид, то они аффинно эквивалентны.

Нормальный вид

Нормальный вид аффинно-квадратичной функции отличается от канонического тем, что квадратичная часть в нём имеет нормальный вид. Пусть $q(x)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}$, где все $\lambda _{i}\neq 0$ — нормальный вид $q$. Тогда нормальный вид $Q$:

$Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+c_{0}$, где $1\leq k\leq n$ в центральном случае,

$Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+x_{k+1}$, где $1\leq k<n$ в нецентральном случае

Конкретный произвол в выборе коэффициентов $\lambda _{i}$ зависит от поля $\mathbb {K}$ и должен быть рассмотрен в каждом отдельном случае.

Случай $\mathbb {K} =\mathbb {C}$

$Q(P)=x_{1}^{2}+...+x_{k}^{2}+c_{0}$ в центральном случае

$Q(P)=x_{1}^{2}+...+x_{k}^{2}+x_{k+1}$ в нецентральном случае

Случай $\mathbb {K} =\mathbb {R}$

$Q(P)=x_{1}^{2}+...+x_{m}^{2}-x_{m+1}^{2}-...-x_{k}^{2}+c_{0}$, где $0\leq m\leq k$ в центральном случае

$Q(P)=x_{1}^{2}+...+x_{m}^{2}-x_{m+1}^{2}-...-x_{k}^{2}+x_{k+1}$, где $0\leq m\leq k$ в нецентральном случае

Нормальный вид аффинно-квадратичной функции единственен. Две аффинно-квадратичные функции имеют одинаковый нормальный вид тогда и только тогда когда они аффинно эквивалентны.

Приведение к главным осям

В евклидовом, унитарном и иных аффинных пространствах, ассоциированных с векторным пространством со скалярным произведением может быть поставлена задача нахождения прямоугольной системы координат, в которой аффинно-квадратичная форма имеет наиболее простой вид. Здесь будет рассмотрена таковая для евклидова пространства.

Центральный случай

В качестве начала отсчёта нужно взять любой центр, а в качестве базиса ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Тогда аффинно-квадратичная функция будет приведена к виду:

$Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+c_{0}$, где $1\leq k\leq n$, все $\lambda _{i}\neq 0$

причём коэффициенты определены однозначно с точностью до перестановки (это следует из единственности вида квадратичной формы в главных осях).

Нецентральный случай

В нецентральном случае такая прямоугольная система координат, в которой аффинно-квадратичная функция имеет канонический вид, существует не всегда, однако если немного изменить его, то можно получить вид, который существует и единственен для любой функции.
Для приведения к такому виду нужно сначала привести квадратичную часть к главным осям. Получим: $Q(P)=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}y_{i}^{2}+\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}y_{i}+c_{0}=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}(y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2\lambda _{i}}})^{2}+\sum _{i=k+1}^{n}\mu _{i}y_{i}+c'_{0}$.
Затем сделать следующую замену: $x_{i}=y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2\lambda _{i}}}$ при $i=1,...,k$, $x_{k+1}={\frac {\mu _{k+1}y_{k+1}+...+\mu _{n}y_{n}+c'_{0}}{\sqrt {\mu _{k+1}^{2}+...+\mu _{n}^{2}}}}$, оставшиеся переменные взять так, чтобы замена была ортогональной (матрицу замены нужно достроить так, чтобы она была ортогональной. Это возможно сделать, так как первые $k$ строк уже образуют ортонормированную систему и достаточно просто её достроить до ортонормированного базиса). Окончательный вид получается:

$Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+px_{k+1}$, где $1\leq k<n$, все $\lambda _{i}\neq 0$, $p>0$.

Такой вид также является единственным с точностью до перестановки коэффициентов $\lambda _{i}$.

Доказательство единственности

Единственность коэффициентов $\lambda _{i}$ следует из единственности коэффициентов квадратичной формы в главных осях. Остаётся доказать единственность коэффициента $p$.
Пусть в прямоугольной системе координат $(O,e_{1},...,e_{n})$ $Q$ имеет вид $Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+px_{k+1}$, а в $(O',e'_{1},...,e'_{n})$ — $Q(P)=\lambda _{1}x_{1}'^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}'^{2}+p'x_{k+1}'$, $1\leq k<n$, все $\lambda _{i}\neq 0$, $p,p'>0$
Пусть $b$ — симметричная билинейная форма, соответствующая $q$, $\phi$ — самосопряжённый линейный оператор, соответствующий этой форме. Его матрица в базисе $e$ и в базисе $e'$ имеет одинаковый вид $A=\operatorname {diag} (\lambda _{1},...,\lambda _{k},0,...,0)$. Тогда $\operatorname {im} {\phi }=<e_{1},...,e_{k}>=<e_{1}',...,e_{k}'>$ и матрица перехода от $e$ к $e'$ имеет вид:

$T={\begin{pmatrix}T_{1}&0\\0&T_{2}\end{pmatrix}}$

причём матрицы $T_{1}$ и $T_{2}$ ортогональны. Пусть $O'=O+a$.

$\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}^{2}=x^{T}Ax=(Tx'+a)^{T}A(Tx'+a)=(x'^{T}T^{-1}+a^{T})A(Tx'+a)=x'^{T}T^{-1}ATx'+x'^{T}T^{-1}Aa+a^{T}ATx'+a^{T}Aa=x'^{T}Ax'+2a^{T}ATx'+a^{T}Aa=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}'^{2}+\sum _{i=1}^{k}a_{1}x_{i}'+c_{1}$

$px_{k+1}=\sum _{i=k+1}^{n}pt_{i}x_{i}'+c_{2}$

$\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}'^{2}+\sum _{i=1}^{k}a_{1}x_{i}'+\sum _{i=k+1}^{n}pt_{i}x_{i}'+c_{1}+c_{2}=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}'^{2}+p'x_{k+1}'$

$t_{k+1}={\frac {p'}{p}},t_{k+1},...,t_{n}=0$

Матрица $T_{2}$ — ортогональна $\Rightarrow t_{k+1}^{2}=\left({\frac {p'}{p}}\right)^{2}=1$
${\frac {p'}{p}}>0\Rightarrow {\frac {p'}{p}}=1\Rightarrow p'=p$

Две аффинно-квадратичных функции метрически эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый вид в главных осях.

Применение

Аффинно-квадратичные функции используются для классификации квадрик. К примеру: с помощью них можно получить стандартную аффинную или метрическую классификацию кривых и поверхностей второго порядка в евклидовом пространстве.

См. также

• Аффинно-линейная функция

Литература

• Винберг Э. Б.  Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2001. — 544 с.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И.  Линейная алгебра и геометрия. — СПб.: Лань, 1980. — 303 с.
• Кострикин А. И.  Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. — 368 с.