Движение (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Движе́ние — преобразование метрического пространства, сохраняющее расстояние между соответствующими точками, т. e. если и  — образы точек и , то . Иначе говоря, движение — это изометрия пространства в себя.

Несмотря на то, что движение определяется на всех метрических пространствах, этот термин более распространён в евклидовой геометрии и смежных областях. В метрической геометрии (в частности, в римановой геометрии) чаще говорят: изометрия пространства в себя. В общем случае метрического пространства (например, для неплоского риманова многообразия) движения могут существовать далеко не всегда.

В евклидовом (или псевдоевклидовом) пространстве движение автоматически сохраняет также углы, так что сохраняются все скалярные произведения.

Далее в этой статье рассматриваются изометрии только евклидова точечного пространства.

Собственные и несобственные движения[править | править вики-текст]

Пусть  — движение евклидова точечного пространства а  — пространство свободных векторов для пространства . Линейный оператор ассоциированный с аффинным преобразованием является ортогональным оператором, и поэтому его определитель может быть равен либо (собственный ортогональный оператор), либо (несобственный ортогональный оператор). В соответствии с этим и движения подразделяются на два класса: собственные (если ) и несобственные (если )[1].

Собственные движения сохраняют ориентацию пространства несобственные — заменяют её на противоположную[2]. Иногда собственные и несобственные движения называют соответственно перемещениями и антиперемещениями[3].

Всякое движение n-мерного евклидова точечного пространства может быть однозначно определено указанием ортонормированного репера в который при данном движении переходит заранее выбранный в пространстве ортонормированный репер При этом в случае собственного движения новый репер ориентирован так же, как и исходный, а в случае несобственного движения новый репер ориентирован противоположным образом. Движения всегда сохраняют расстояния между точками пространства (т. e. являются изометриями), причём никаких других изометрий, кроме собственных и несобственных движений, не существует[4].

В механике в понятие «движение» вкладывается другой смысл; в частности, оно всегда рассматривается как непрерывный процесс, происходящий в течение некоторого промежутка времени (см. механическое движение). Если, следуя П. С. Александрову, называть непрерывным движением такое движение пространства которое непрерывно зависит от параметра (при в механике это соответствует движению абсолютно твёрдого тела), то ортонормированный репер может быть получен непрерывным движением из ортонормированного репера тогда и только тогда, когда оба репера ориентированы одинаково[5].

Частные виды изометрий[править | править вики-текст]

На прямой[править | править вики-текст]

Любое движение прямой есть либо параллельный перенос (сводящийся к смещению всех точек прямой на один и тот же вектор, лежащий на этой же прямой), либо отражение относительно некоторой точки, взятой на данной прямой. В первом случае движение является собственным, во втором — несобственным[6].

На плоскости[править | править вики-текст]

Любое движение плоскости относится к одному из следующих типов[2]:

Движения первых двух типов — собственные, последних двух — несобственные[7].

В трёхмерном пространстве[править | править вики-текст]

Любое движение трёхмерного пространства относится к одному из следующих типов[2]:

  • Параллельный перенос;
  • Поворот;
  • Винтовое движение — суперпозиция поворота относительно некоторой прямой и переноса на вектор, параллельный этой прямой;
  • Зеркальная симметрия (отражение) относительно плоскости;
  • Скользящая симметрия — суперпозиция переноса на вектор, параллельный плоскости, и симметрии относительно этой плоскости;
  • Зеркальный поворот — суперпозиция поворота вокруг некоторой прямой и отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси поворота.

Движения первых трёх типов исчерпывают класс собственных движений трёхмерного пространства (теореме Шаля), а движения последних трёх типов являются несобственными[7].

В n-мерном пространстве[править | править вики-текст]

Суперпозиция двух отражений относительно непараллельных осей даёт поворот
Суперпозиция двух отражений относительно параллельных осей даёт параллельный перенос

В -мерном пространстве движения сводятся к ортогональным преобразованиям, параллельным переносам и суперпозициям тех и других.

В свою очередь, ортогональные преобразования могут быть представлены как суперпозиции (собственных) вращений и зеркальных отражений (т. e. симметрий относительно гиперплоскостей).

Движения как суперпозиции симметрий[править | править вики-текст]

Любую изометрию в -мерном евклидовом пространстве можно представить в виде суперпозиции не более чем n+1 зеркальных отражений[8].

Так, параллельный перенос и поворот — суперпозиции двух отражений, скользящее отражение и зеркальный поворот — трёх, винтовое движение — четырёх.

Общие свойства изометрий[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]