Круговое поле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле , порождённое присоединением к полю рациональных чисел первообразного корня n-й степени из единицы . Круговое поле является подполем поля комплексных чисел.

Название поля связано с тем, что деление единичной окружности на n равных частей равносильно построению первообразного корня из единицы n-й степени на комплексной плоскости. Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.

Пример: состоит из комплексных чисел вида , где — рациональные числа.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Круговое поле содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними. Оно не зависит от выбора первообразного корня n-й степени из единицы.
  • , поэтому обычно предполагается, что остаток от деления n на 4 не равен 2 . При выполнении этого условия разным n соответствуют неизоморфные круговые поля.
  • Поле является абелевым расширением поля с группой Галуа
где — мультипликативная группа классов вычетов по модулю n. Степень расширения равна φ(n) (функция Эйлера).

Теорема Кронекера — Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]