Круговое поле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле K_n = \mathbb {Q}(u), порождённое присоединением к полю рациональных чисел \mathbb {Q} первообразного корня n-й степени из единицы u. Круговое поле является подполем поля комплексных чисел.

Название поля связано с тем, что деление единичной окружности на n равных частей равносильно построению первообразного корня из единицы n-й степени на комплексной плоскости. Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.

Пример: K_3 состоит из комплексных чисел вида a+b \sqrt{3}\ i, где a, b — рациональные числа.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Круговое поле содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними. Оно не зависит от выбора первообразного корня n-й степени из единицы.
  • K_{4n+2} = K_{2n+1}, поэтому обычно предполагается, что остаток от деления n на 4 не равен 2 (n \not \equiv 2 \pmod{4}). При выполнении этого условия разным n соответствуют неизоморфные круговые поля.
  • Поле K_n является абелевым расширением поля {\mathbb Q} с группой Галуа G (K_n / {\mathbb Q}) \simeq (\Z/n\Z)^*,
где (\Z/n\Z)^* — мультипликативная группа классов вычетов по модулю n. Степень расширения [K_n : {\mathbb Q}] равна φ(n) (функция Эйлера).

Теорема Кронекера — Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]