Минимальный многочлен алгебраического элемента

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Минимальный многочлен в теории полей — конструкция, определяемая для алгебраического элемента: многочлен, которому кратны все многочлены, корнем которых является данный элемент.

Минимальные многочлены используются при изучении расширений полей. Если задано расширение и элемент , алгебраический над , то минимальное подполе , содержащее и , изоморфно факторкольцу , где  — кольцо многочленов с коэффициентами в , а  — главный идеал, порождённый минимальным многочленом . Также понятие минимального многочлена используется при определении сопряжённых элементов.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть  — расширение поля,  — элемент, алгебраический над . Рассмотрим множество многочленов , таких что . Это множество образует идеал в кольце многочленов . Действительно, если , то , и для любого многочлена . Этот идеал ненулевой, так как по предположению элемент алгебраичен; поскольку  — область главных идеалов, этот идеал главный, то есть порождается некоторым многочленом . Такой многочлен определён с точностью до умножения на обратимый элемент поля; накладывая дополнительное требование, чтобы старший коэффициент был равен единице, то есть чтобы был приведённым многочленом, получается однозначное сопоставление произвольному алгебраическому элементу из данного расширения многочлена, который и называется минимальным многочленом . Из определения следует, что любой минимальный многочлен является неприводимым в .

Примеры[править | править вики-текст]

  • Пусть . Тогда минимальный многочлен  — это . Если же мы возьмем , то минимальный многочлен равен .
  • . Минимальный многочлен  — это .

Сопряжённые элементы[править | править вики-текст]

Сопряжённые элементы алгебраического элемента над полем  — это все (остальные) корни минимального многочлена .

Свойства[править | править вики-текст]

Пусть  — нормальное расширение с группой автоморфизмов , . Тогда для любого  — является сопряжённым к , так как любой автоморфизм переводит корни данного многочлена из снова в корни. Обратно, любой элемент , сопряженный к , имеет такой вид: это значит, что группа действует транзитивно на множестве сопряженных элементов. Следовательно, по неприводимости минимального многочлена, K-изоморфно . Следовательно, отношение сопряжённости симметрично.

Теорема Кронекера утверждает, что любое алгебраическое целое число, такое что его модуль и модуль всех сопряженных ему в поле комплексных чисел равен 1, является корнем из единицы.

Примечания[править | править вики-текст]