Нигде не плотное множество
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Нигде не плотное множество — множество топологического пространства , внутренность замыкания которого пуста (), иначе говоря, множество, которое не является плотным ни в одной окрестности пространства .
Эквивалентно, множество является нигде не плотным в тогда и только тогда, когда в каждом непустом открытом множестве можно найти непустое открытое множество , не пересекающееся с (то есть ).
Свойства
[править | править код]- Семейство всех нигде не плотных множеств пространства образуют идеал подмножеств , то есть:
- если , то ,
- если и , то ,
- .
- Если и является нигде не плотным в ( где топология в индуцированна от ), тогда .
- Пусть и — плотное подмножество в . Тогда тогда и только тогда, когда .
- Множество является нигде не плотным тогда и только тогда, когда его замыкание является нигде не плотным множеством. Таким образом, каждое нигде не плотное множество содержится в некотором замкнутом нигде не плотном множестве.
- Замкнутое нигде не плотное множество является границей открытого множества.
См. также
[править | править код]Литература
[править | править код]- Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
- О. Виро. Элементарная топология. 2010.