Операторы рождения и уничтожения

Операторы рождения и операторы уничтожения — это математические операторы, которые широко применяются в квантовой механике, особенно при изучении квантовых гармонических осцилляторов и многочастичных систем. В квантовой теории поля волновые функции квантованных полей имеют операторный смысл и распадаются на операторы рождения и уничтожения частиц. Оператор уничтожения (обычно обозначаемый ${\hat {a}}$) уменьшает количество частиц в данном состоянии на единицу. Оператор рождения (обычно обозначаемый ${\hat {a}}^{\dagger }$) увеличивает количество частиц в заданном состоянии на единицу, он сопряжен к оператору уничтожения. Эти операторы используются вместо волновых функций во многих областях физики и химии (вторичное квантование). Понятие операторов рождения и уничтожения было введено в науку Полем Дираком.

Операторы рождения и уничтожения могут воздействовать на состояния различных типов частиц. Например, в квантовой химии и теории многих тел операторы рождения и уничтожения часто воздействуют на электронные состояния. Они также могут конкретно относиться к лестничным операторам для квантового гармонического осциллятора. В последнем случае оператор повышения (понижения) интерпретируется как оператор рождения (уничтожения), добавляющий (удаляющий) квант энергии в (из) систему(ы) осциллятора. Они могут быть использованы для представления фононов.

Математика для операторов рождения и уничтожения бозонов такая же, как и для лестничных операторов квантового гармонического осциллятора. Например, коммутатор операторов рождения и уничтожения, связанных с одним и тем же состоянием бозона, равен единице, в то время как все остальные коммутаторы обращаются в нуль. Однако для фермионов математика иная, с использованием антикоммутаторов вместо коммутаторов.

Определение

Пусть $H$ — одночастичное гильбертово пространство (то есть любое гильбертово пространство, рассматриваемое как представляющее состояние отдельной частицы). (Бозонной ККС алгеброй над гильбертовым пространством $H$ называется алгебра с сопряженными операторами (обозначаемыми *) абстрактно порождаемая элементами $a(f)$, где $f$ принадлежит $H$, с учётом соотношений:

$[a(f),a(g)]=[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)]=0$

$[a(f),a^{\dagger }(g)]=\langle f\mid g\rangle ,$

в обозначениях бра и кет.

Отображение $a:f\to a(f)$ из $H$ в бозонную алгебру ККС должно быть комплексным антилинейным. Сопряженный к элементу $a(f)$ является $a^{\dagger }(f)$, и отображение $f\to a^{\dagger }(f)$ является комплексным линейным в H. Таким образом, $H$ используется как комплексное векторное подпространство своей собственной алгебры CCR. В представлении этой алгебры элемент $a(f)$ будет реализован как оператор уничтожения, а $a^{\dagger }(f)$ — как оператор рождения.

В общем случае алгебра ККС является бесконечномерной. Если мы возьмем пополнение банахова пространства, оно станет C *-алгеброй. Алгебра ККС над $H$ тесно связана, но не идентична алгебре Вейля.

Для фермионов (фермионная) КАС алгебра над $H$ строится аналогично, но вместо этого использует отношения антикоммутации, а именно

$\{a(f),a(g)\}=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0$

$\{a(f),a^{\dagger }(g)\}=\langle f\mid g\rangle .$

КАС алгебра конечномерна только в том случае, если $H$ конечномерно. Если мы возьмем пополнение банахова пространства (необходимое только в бесконечномерном случае), оно становится $C^{*}$ алгеброй. КАС алгебра тесно связана с алгеброй Клиффорда, но не идентична ей.

Физический смысл оператора $a(f)$ заключается в уничтожении частицы в состоянии $|f\rangle$ тогда как $a^{\dagger }(f)$ создает частицу в состоянии $|f\rangle$.

Вакуумным состоянием свободного поля является состояние $\left|0\right\rangle$ без частиц, характеризуемое как:

$a(f)\left|0\right\rangle =0.$

Если $|f\rangle$ отнормирован, так что $\langle f|f\rangle =1$, тогда $N=a^{\dagger }(f)a(f)$ дает число частиц в состоянии $|f\rangle$.

Операторы рождения и уничтожения в квантовых теориях поля

Основная статья: Вторичное квантование

В квантовых теориях поля и задаче многих тел используются операторы рождения и уничтожения квантовых состояний, $a_{i}^{\dagger }$ и $a_{i}^{\,}$. Эти операторы изменяют собственные значения оператора числа частиц,

$N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}$,

на единицу, по аналогии с гармоническим осциллятором. Индексы (например, $i$) представляют квантовые числа, которые обозначают одночастичные состояния системы; следовательно, они не обязательно являются одиночными числами. Например, кортеж квантовых чисел $(n,l,m,s)$ используется для обозначения состояний в атоме водорода.

Коммутационные соотношения операторов создания и уничтожения в системе с несколькими бозонами являются,

$[a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }]\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},$

$[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,$

где $[\ \ ,\ \ ]$ — коммутатор и $\delta _{ij}$ — cимвол Кронекера.

Для фермионов коммутатор заменяется антикоммутатором $\{\ \ ,\ \ \}$,

$\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},$

$\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\}=0.$

Следовательно, обмен непересекающимися (то есть $i\neq j$) операторами в операторах создания или уничтожения изменит знак в системах фермионов, но не в системах бозонов.

Если состояния, обозначенные i, являются ортонормированным базисом гильбертова пространства H, то результат этой конструкции совпадает с построением алгебры CCR и алгебры CAR в предыдущем разделе. Если они представляют собственные векторы, соответствующие непрерывному спектру некоторого оператора, как для несвязанных частиц в КТП, то интерпретация более тонкая.

См. также

• Пространство Фока
• Пространство Сигала — Баргмана
• Оптическое фазовое пространство
• Преобразование Боголюбова
• Преобразование Гольштейна — Примакова
• Преобразование Йордана — Вигнера
• Отображение Йордана
• Преобразование Клейна
• Каноническое коммутационное соотношение

Литература

• Р. Фейнман. Статистическая механика. — М.: Мир, 1975. — 407 с.
• Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. Введение в теорию квантованных полей. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. — 441 с.