Коммутатор (алгебра)

Коммутатором операторов ${\hat {A}}$ и ${\hat {B}}$ в алгебре, а также квантовой механике называется оператор $[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$. В общем случае он не равен нулю. Понятие коммутатора распространяется также на произвольные ассоциативные алгебры (не обязательно операторные). В квантовой механике за коммутатором операторов также закрепилось название квантовая скобка Пуассона.

Если коммутатор двух операторов равен нулю, то они называются коммутирующими, иначе — некоммутирующими.

Тождества с коммутатором

• Антикоммутативность: $[A,B]=-[B,A].$ Из этого тождества следует что $[A,A]=0$ для любого оператора $A$.

В ассоциативной алгебре верны также следующие тождества:

• $[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$. Это тождество представляет собой правило Лейбница для оператора $D_{A}=[A,\cdot ].$ По этой причине оператор $D_{A}$ называют внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор ${\tilde {D}}_{A}=[\cdot ,A].$
• Тождество Якоби: $[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0.$ Алгебра, удовлетворяющая тождеству Якоби, называется алгеброй Ли. Таким образом, из любой ассоциативной алгебры можно получить алгебру Ли, если определить умножение в новой алгебре как коммутатор элементов старой алгебры.
• $[AB,C]+[BC,A]+[CA,B]=0.$ Это тождество представляет собой другую запись тождества Якоби.
• $[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$
• $[ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC$
• $[AB,CD]=A[B,CD]+[A,CD]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B$
• $[A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]$
• $[A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]$
• $[ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD$
• $[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]=[[A,C],[B,D]]$
• $e^{A}Be^{-A}=B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \equiv e^{\operatorname {ad} (A)}B.$ Эта формула справедлива в алгебрах, где может быть определена матричная экспонента, например, в Банаховой алгебре или в кольце формальных степенных рядов. Она также играет важнейшую роль в квантовой механике и квантовой теории поля при построении теории возмущений для операторов в представлении Гейзенберга и представлении взаимодействия.
• $\ln \left(e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}\right)=[A,B]+{\frac {1}{2!}}[(A+B),[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left([A,[B,[B,A]]]/2+[(A+B),[(A+B),[A,B]]]\right)+\cdots .$

Коммутатор в квантовой механике

Как известно, физическое измерение в квантовой механике соответствует действию оператора ${\hat {F}}$ физической величины $f$ на вектор состояния системы. Так называемые чистые состояния, в которых физическая величина имеет строго определённое значение, соответствуют собственным векторам ${\hat {F}}$, при этом значение величины в данном состоянии — это собственное число вектора чистого состояния:

${\hat {F}}\psi _{i}=f\psi _{i}$

Если две квантовомеханические величины одновременно измеримы, то в чистых состояниях они обе будут иметь определённое значение, то есть множества собственных векторов операторов величин совпадают. Но тогда они будут коммутировать:

${\hat {F}}{\hat {G}}\psi _{i}=g{\hat {F}}\psi _{i}=gf\psi _{i}={\hat {G}}{\hat {F}}\psi _{i}$

Соответственно, некоммутирующие операторы соответствуют физическим величинам, не имеющим одновременно определённого значения. Типичный пример — операторы импульса (компоненты импульса) ${\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$ и соответствующей координаты ${\hat {x}}=x$ (см. соотношение неопределённостей).

Законы сохранения

Собственные значения гамильтониана квантовой системы — это значения энергии в стационарных состояниях. Очевидным следствием вышеизложенного является то, что физическая величина, оператор которой коммутирует с гамильтонианом, может быть измерена одновременно с энергией системы. Однако, в квантовой механике энергия приобретает особую роль. Из уравнения Шрёдингера

$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\hat {H}}\psi$

и определения полной производной оператора по времени

${\dot {\hat {f}}}={\hat {\dot {f}}}$

можно получить выражение для полной производной по времени от физической величины, а именно:

${\dot {\hat {f}}}={i \over \hbar }[{\hat {H}},{\hat {f}}]+{\frac {\partial {\hat {f}}}{\partial t}}$

Следовательно, если оператор физической величины коммутирует с гамильтонианом, то эта величина не изменяется с течением времени. Это соотношение является квантовым аналогом тождества

${\dot {f}}={\mathcal {\{}}H,f{\mathcal {\}}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}$

из классической механики, где {,} — скобка Пуассона функций. Аналогично классическому случаю, оно выражает наличие у системы определённых симметрий, порождающих интегралы движения. Именно свойство сохранения при определённых симметриях пространства кладётся в основу определения многих квантовых аналогов классических величин, например, импульс определяется как величина, сохраняющаяся при всех трансляциях системы, а момент импульса определяется как величина, сохраняющаяся при вращениях.

Некоторые соотношения коммутации

Укажем значения некоторых часто встречающихся коммутаторов.

${\hat {r}}_{i},{\hat {p}}_{i},{\hat {L}}_{i}$ — оператор i-ой компоненты, соответственно, радиус-вектора, импульса и момента импульса; $\delta _{ij}$ — дельта Кронекера; $e_{ijk}$ — абсолютно антисимметричный псевдотензор 3-го ранга.

$[{\hat {r}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij}$

$[{\hat {p}},f({\vec {r}})]=-i\hbar \nabla f$

$[{\hat {L}}_{i},{\hat {r}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {r}}_{k}$

$[{\hat {L}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {p}}_{k}$

$[{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {L}}_{k}$

$[{\hat {L}}^{2},{\hat {L}}_{i}]=0$

Как правило, необходимы соотношения для нормированного момента: $\ {\hat {L}}_{j}=\hbar {\hat {l}}_{j}$

$[{\hat {l}}_{i},{\hat {r}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {r}}_{k}$

$[{\hat {l}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {p}}_{k}$

$[{\hat {l}}_{i},{\hat {l}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {l}}_{k}$

$[{\hat {l}}^{2},{\hat {l}}_{i}]=0$

Из этих соотношений видно, что момент импульса частицы не измерим одновременно с её координатами или импульсом. Более того, за исключением случая, когда момент равен нулю, различные его компоненты не измеримы одновременно. Этим момент импульса принципиально отличается от импульса и радиус-вектора, у которых все три компоненты могут быть одновременно определены. Для момента импульса можно измерить лишь его проекцию на некоторую ось (обычно $z$) и квадрат его длины.

Алгебра Ли физических величин

Коммутатор является квантовым аналогом скобки Пуассона в классической механике. Операция коммутатора вводит на операторах (или элементах алгебры) структуру алгебры Ли, поэтому антикоммутативное умножение в алгебре Ли также называют коммутатором.

Некоммутирующие величины

Некоммутирующими величинами $A$ и $B$ называются величины, коммутатор которых $[A,B]=AB-BA\neq 0$.

Две физические величины одновременно измеримы тогда и только тогда, когда их операторы коммутируют.

Антикоммутатор

Антикоммутатор — симметризующий оператор над элементами кольца, определяющий степень «антикоммутативности» умножения в кольце:

$[x,y]_{+}:=xy+yx$

Через антикоммутатор вводится коммутативное «йорданово умножение». Алгебра Клиффорда всегда естественным образом связывает антикоммутатор с задающей её билинейной формой.

Примеры

• Антикоммутатор пары различных мнимых единиц у кватернионов равен нулю.
• При помощи антикоммутатора определяются гамма-матрицы Дирака.

Литература

• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1976. — 664 с.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М.: Мир, 1990. — 720c.
• Дирак П. Принципы квантовой механики. — 2-е изд. — М.: Наука, 1979. — 480 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.

См. также

• Теория операторов
• Поле Киллинга