Тригонометрические функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Тангенс»)
Перейти к: навигация, поиск
Рис. 1
Графики тригонометрических функций:      синуса      косинуса      тангенса      косеканса      секанса      котангенса

Тригонометри́ческие фу́нкцииэлементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла (дуги) в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

К тригонометрическим функциям относятся:

прямые тригонометрические функции
  • синус ()
  • косинус ()
производные тригонометрические функции
  • тангенс ()
  • котангенс ()
другие тригонометрические функции
  • секанс ()
  • косеканс ()

В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются .

Кроме этих шести, существуют также некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т. д.), а также обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус и т. д.), рассматриваемые в отдельных статьях.

Синус и косинус вещественного аргумента представляют собой периодические, непрерывные и бесконечно дифференцируемые вещественнозначные функции. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначные, периодические и бесконечно дифференцируемые в области определения, но не непрерывные. Тангенс и секанс имеют разрывы второго рода в точках , а котангенс и косеканс — в точках .
Графики тригонометрических функций показаны на рис. 1.

Содержание

Способы определения[править | править вики-текст]

Геометрическое определение[править | править вики-текст]

Рис. 2
Определение тригонометрических функций
Рис. 3
Численные значения тригонометрических функций угла в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически[1]. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса с центром в начале координат . Всякий угол можно рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча , при этом направление поворота против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Абсциссу точки обозначим , ординату обозначим (см. рисунок).

  • Синусом называется отношение
  • Косинусом называется отношение
  • Тангенс определяется как
  • Котангенс определяется как
  • Секанс определяется как
  • Косеканс определяется как

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате , а косинус — абсциссе . На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если  — вещественное число, то синусом в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна , аналогично для прочих тригонометрических функций.


Определение тригонометрических функций для острых углов[править | править вики-текст]

Рис. 4
Тригонометрические функции острого угла

В школьном курсе геометрии тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника[2]. Пусть OAB — прямоугольный треугольник с острым углом α. Тогда:

  • Синусом угла называется отношение (отношение противолежащего катета к гипотенузе).
  • Косинусом угла называется отношение (отношение прилежащего катета к гипотенузе).
  • Тангенсом угла называется отношение (отношение противолежащего катета к прилежащему).
  • Котангенсом угла называется отношение (отношение прилежащего катета к противолежащему).
  • Секансом угла называется отношение (отношение гипотенузы к прилежащему катету).
  • Косекансом угла называется отношение (отношение гипотенузы к противолежащему катету).

Построив систему координат с началом в точке , направлением оси абсцисс вдоль и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.

Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (см.: Теорема синусов, Теорема косинусов).

Тригонометрические функции являются периодическими функциями с периодами для синуса, косинуса, секанса и косеканса, и для тангенса и котангенса.
Тригонометрические функции любого угла можно свести к тригонометрическим функциям острого угла, используя их периодичность и так называемые формулы приведения. Это необходимо, например, для нахождения значений тригонометрических функций по таблицам, поскольку в таблицах обычно приводятся значения только для острых углов.

Исследование функций в математическом анализе[править | править вики-текст]

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений[править | править вики-текст]

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решения дифференциального уравнения

с дополнительными условиями для косинуса и для синуса, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений[править | править вики-текст]

Функции косинус и синус можно определить[3] как решения ( и соответственно) системы функциональных уравнений:

при дополнительных условиях

и при .

Определение тригонометрических функций через ряды[править | править вики-текст]

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:

Пользуясь этими формулами, а также равенствами и можно найти разложения в ряд и других тригонометрических функций:

где

 — числа Бернулли,
 — числа Эйлера[убрать шаблон].

Производные и интегралы[править | править вики-текст]

Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом[4]:

Значения тригонометрических функций для некоторых углов[править | править вики-текст]

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («∞» означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

0°(0 рад) 30° (π/6) 45° (π/4) 60° (π/3) 90° (π/2) 180° (π) 270° (3π/2) 360° (2π)
Значения косинуса и синуса на окружности.


Значения тригонометрических функций нестандартных углов[править | править вики-текст]



Свойства тригонометрических функций[править | править вики-текст]

Простейшие тождества[править | править вики-текст]

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Непрерывность[править | править вики-текст]

Синус и косинус — непрерывные функции. Тангенс и секанс имеют точки разрыва котангенс и косеканс —

Чётность[править | править вики-текст]

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

Периодичность[править | править вики-текст]

Функции  — периодические с периодом , функции и  — c периодом .

Формулы приведения[править | править вики-текст]

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

Здесь  — любая тригонометрическая функция,  — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), n — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол α острый, например:

или что то же самое

Некоторые формулы приведения:

Формулы сложения[править | править вики-текст]

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

Аналогичные формулы для суммы трёх углов:

Формулы для кратных углов[править | править вики-текст]

Формулы двойного угла:

Формулы тройного угла:

Прочие формулы для кратных углов:

следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для Гамма-функции.

Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:

где  — целая часть числа ,  — биномиальный коэффициент.

Формулы половинного угла:

Произведения[править | править вики-текст]

Формулы для произведений функций двух углов:

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:

Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.

Степени[править | править вики-текст]

Суммы[править | править вики-текст]

Существует представление:

где угол находится из соотношений:

Универсальная тригонометрическая подстановка[править | править вики-текст]

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

Тригонометрические функции комплексного аргумента[править | править вики-текст]

Определение[править | править вики-текст]

Формула Эйлера:

позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов:

где


Соответственно, для вещественного x,

Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями:

Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются и в комплексном случае. Некоторые дополнительные свойства:

  • комплексные синус и косинус, в отличие от вещественных, могут принимать сколь угодно большие по модулю значения;
  • все нули комплексных синуса и косинуса лежат на вещественной оси.

Комплексные графики[править | править вики-текст]

На следующих графиках изображена комплексная плоскость, а значения функций выделены цветом. Яркость отражает абсолютное значение (чёрный — ноль). Цвет изменяется от аргумента и угла согласно карте.

Тригонометрические функции в комплексной плоскости
Complex sin.jpg
Complex cos.jpg
Complex tan.jpg
Complex Cot.jpg
Complex Sec.jpg
Complex Csc.jpg

История названий[править | править вики-текст]

Линия синуса (линия AB на рис. 2) у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса как: араб. جيب‎ — «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом лат. sinus — «синус», имеющим то же значение. Термин «косинус» (лат. cosinus) — это сокращение от лат. complementi sinus — дополнительный синус.

Современные краткие обозначения введены Б. Кавальери и Уильямом Отредом и закреплены в трудах Эйлера.

Термины «тангенс» (лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583).

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770 году.

Позднее были введены и термины для обратных тригонометрических функций — арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс — с помощью добавления приставки «арк» (от лат. arcus — дуга), — Ж. Лагранжем и др.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Бермант А. Ф. Люстерник Л. А. Тригонометрия. — М.: Наука, 1967.
  • Тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии. — М.: «Советская Энциклопедия», 1977. — Т. 26. — с. 204—206.
  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
    • Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, www.alleng.ru/d/math/math42.htm, 509 стр.
  • Двайт Г. Б. Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.
  • Кожеуров П. А. Тригонометрия. — М.: Физматгиз, 1963.
  • Маркушевич А. И. Замечательные синусы. — М.: Наука, 1974.
  • Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1984. — Т. 5. — с. 436.
  • Тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Ред. коллегия, Гнеденко Б. В. (гл. ред.), Савин А. П. и др. — М.: Педагогика, 1985 (1989). — С. 299—301—305. — 352 с., ил. ISBN 5-7155-0218-7 (стр. 342, 343 — таблицы тригонометрических функций 0°-90°, в том числе в радианах)
  • Тригонометрические функции // Справочник по математике (для ср. уч. заведений) / Цыпкин А. Г., под ред. Степанова С. А. — 3-е изд. — М.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1983. — С. 240—258. — 480 с.

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 282—284.
  2. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 271—272.
  3. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. 1. — Москва: Наука, 1998. — ISBN 5-02-015231-5.
  4. В формулах, содержащих логарифм в правой части равенств, константы интегрирования , вообще говоря, различны для различных интервалов непрерывности.