Планковские единицы

Пла́нковские едини́цы — система единиц измерения, одна из естественных систем единиц. Предложена в 1901 году немецким физиком Максом Планком и названа в его честь.

Система планковских единиц не имеет широкого распространения, потому что величины большинства входящих в неё единиц неудобны для практического использования (очень велики или очень малы). Однако, как и другие естественные системы единиц, она с большим успехом применяется в теоретической физике, поскольку в ней уравнения существенно упрощаются, их запись освобождается от излишних коэффициентов.

Основные единицы

Ныне под планковской системой понимается система единиц, в которой в качестве основных единиц выбраны следующие фундаментальные физические постоянные:

• $\hbar$ — постоянная Дирака (постоянная Планка, делённая на $2\pi$);
• $c$ — скорость света (электродинамическая постоянная);
• $G$ — гравитационная постоянная;
• $k_{\text{B}}$ — постоянная Больцмана.

При этом значение коэффициента пропорциональности в законе Кулона выбрано равным единице.

Обычно, говоря о планковской системе, указывают, что в этом случае выполняется $c=1,$ $\hbar =1,$ $k_{\text{B}}=1$ и $G=1.$ Однако в действительности такая форма записи не точна. Она отражает лишь то, что соответствующая постоянная выбрана в качестве меры. Следует иметь в виду, что в планковской системе размерности отнюдь не исчезают, скорее наоборот, они приобретают фундаментальный характер, поскольку составляются из фундаментальных постоянных.

Производные единицы

Из основных планковских единиц выводятся все остальные (производные) единицы системы, часть из которых приведена ниже. Значения $c,\,G,\,\hbar ,\,\varepsilon _{0}$ и $k_{\text{B}}$ в единицах Международной системы единиц (СИ), использованные в расчётах, рекомендованы CODATA.

Современные значения для планковских величин

Величина	Формула	Значение (в единицах СИ)
Планковская масса	$m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}$	$2{,}176434(24)\times 10^{-8}$ кг
Планковская длина	$l_{\text{P}}={\frac {\hbar }{m_{\text{P}}c}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$	$1{,}616255(18)\times 10^{-35}$ м
Планковское время	$t_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}}{c}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}$	$5{,}391247(60)\times 10^{-44}$ с
Планковское ускорение	$a_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}}{t_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c}{t_{\text{P}}}}$	$5{,}56073(62)\times 10^{51}$ м/с2
Планковская энергия	$E_{\text{P}}=m_{\text{P}}c^{2}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}$	$1{,}956080(22)\times 10^{9}$ Дж
Планковская температура	$T_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{k_{\text{B}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{k_{\text{B}}^{2}G}}}$	$1{,}416784(16)\times 10^{32}$ К
Планковский заряд	$q_{\text{P}}={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}={\sqrt {2ch\varepsilon _{0}}}={\frac {e}{\sqrt {\alpha }}}$, где $e$ — элементарный электрический заряд, $\alpha$ — постоянная тонкой структуры, $h$ — постоянная Планка. Соответственно, постоянная тонкой структуры — это квадрат заряда электрона, выраженного в планковских зарядах.	$1{,}87554603778(14)\times 10^{-18}$ Кл
Планковский ток	$I_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \varepsilon _{0}}{G}}}=2c^{3}{\sqrt {\frac {\pi \varepsilon _{0}}{G}}}$	$3{,}478872(39)\times 10^{25}$ А
Планковская сила	$F_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}c}{t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{G}}$	$1{,}21027\times 10^{44}$ Н
Планковское давление	$p_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}$	$4,63309\times 10^{113}$ Па
Планковская угловая частота	$\omega _{\text{P}}={\frac {1}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}$	$1{,}85487\times 10^{43}$ c−1
Планковская мощность (или планковская светимость)	$L_{\mathrm {P} }={\frac {m_{\text{P}}c^{2}}{t_{\text{P}}}}={\frac {c^{5}}{G}}$	$3{,}62831\times 10^{52}$ Вт
Планковская площадь (или планковское сечение рассеяния)	$l_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}$	$2{,}61228(4)\times 10^{-70}$ м2
Планковский импульс	$p_{\text{P}}=m_{\text{P}}c={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}$	$6{,}52478(7)$ кг·м/с
Планковская плотность	$\rho _{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{3}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}$	$5{,}1550\times 10^{96}$ кг/м³

Погрешность (в скобках после величины) выражается в единицах последней значащей цифры. Для большинства планковских единиц основной вклад в погрешность вносит относительная погрешность измерения гравитационной постоянной G (δG ≈ 2,2 × 10⁻⁵), что значительно больше, чем относительная погрешность электрической постоянной ε₀ (δε₀ ≈ 1,5 × 10⁻¹⁰), в то время как относительные погрешности постоянной Планка h, постоянной Больцмана k_B, элементарного заряда e и скорости света c равны нулю — эти величины выражаются через единицы СИ как точные значения (поскольку соответствующие единицы в существующей в настоящее время редакции СИ определены через них). Таким образом, если в формулу для планковской единицы входит G^±s, её относительная погрешность примерно равна s·δG (например, для единиц, в определение которых входит G^1/2 или G^−1/2, относительная погрешность примерно равна δG/2 ≈ 10⁻⁵). Одной из немногих планковских единиц, не включающих в своё определение G, является планковский заряд, поэтому его точность определяется погрешностью δε₀.

История

Макс Планк в 1933

Система планковских единиц впервые предложена в 1899 году Максом Планком на основе скорости света $c$, гравитационной постоянной $G$ и двух ввёденных им новых постоянных теории теплового излучения $a$ и $b$ (они отличаются от современных постоянных ${\frac {h}{k_{B}}}$ и $h$ на безразмерные множители). Первоначально планковские единицы были введены в докладе, сделанном 18 мая 1899 года на заседании Академии наук в Берлине и посвящённом обзору теории явлений теплового излучения, рассматриваемых с точки зрения электромагнитной теории света, и значению второго начала термодинамики в ней.

Все до сих пор используемые системы единиц, в том числе так называемая абсолютная СГС-система, обязаны своим происхождением пока что случайному стечению обстоятельств, поскольку выбор единиц, лежащих в основе каждой системы, сделан не исходя из общей точки зрения, обязательно приемлемой для всех мест и времен, но исключительно исходя из потребностей нашей земной культуры… В связи с этим представляло бы интерес заметить, что, используя обе постоянные $a$ и $b$… мы получаем возможность установить единицы длины, массы, времени и температуры, которые не зависели бы от выбора каких-либо тел или веществ и обязательно сохраняли бы своё значение для всех времен и для всех культур, в том числе и внеземных и нечеловеческих, и которые поэтому можно было бы ввести в качестве «естественных единиц измерений».

—

В 1900 году Макс Планк предложил новый закон излучения (закон Планка), в котором фигурировали две новые постоянные $h$ и $k_{B}.$ В 1901 году Планком была предложена система на основе постоянных $c,$ $G,$ $h$ и $k_{B}$.

Связь планковской длины с массой m_А = αm_P

Считается, что планковская длина связана только с планковской массой, однако, это не так:

$l_{\text{P}}={\frac {\hbar }{m_{\text{P}}c}}={\frac {\alpha \hbar c}{\alpha m_{\text{P}}c^{2}}}={\frac {ke^{2}}{m_{\text{A}}c^{2}}},$

где $k={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}},$ $\alpha ={\frac {1}{137,036}},$ а масса $m_{\text{A}}=\alpha m_{\text{P}}=1{,}5882\times 10^{-10}$ кг.

Величина $ke^{2}/m_{\text{A}}c^{2}$ — это классический радиус заряженной элементарной частицы с массой $m_{\text{A}}$. Таким образом, планковская длина связана сразу с двумя совершенно разными массами, $m_{\text{P}}$ и $m_{\text{A}}$.

Классический радиус $ke^{2}/mc^{2}$ уменьшается с ростом массы частицы и достигает наименьшего значения — длины Стоуни $l_{\text{S}}=l_{\text{P}}{\sqrt {\alpha }}=1{,}3807\times 10^{-36}$м — для массы Стоуни $m_{\text{S}}=m_{\text{P}}{\sqrt {\alpha }}=1{,}8592\times 10^{-9}$кг.

См. также

• Планковская эпоха
• Рациональная система единиц
• Атомные единицы
• СГС
• Международная система единиц (СИ)
• Фундаментальные физические постоянные

Литература

• Планк М. Избранные труды. — Москва: Наука, 1975.
• Томилин К. А. Фундаментальные физические постоянные в историческом и методологическом аспектах. — Москва: Физматлит, 2006. — С. 209, 215—218, 222, 223, 271, 311. — 368 с. — ISBN 5-9221-0728-3.
• Чертов А. Г. Единицы физических величин. — Москва: «Высшая школа», 1977. — С. 23. — 287 с.
• Шёпф Х.-Г. Макс Планк Об элементарных квантах материи и электричества // От Кирхгофа до Планка. — Москва: Мир, 1981. — С. 182—184. — 16 700 экз.
• Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности. — М.: Наука, 1968. — 306 с.
• Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1977. — 336 с.

Ссылки

• Томилин К. А. Планковские величины // 100 лет квантовой теории. История. Физика. Философия : Труды международной конференции. — Москва: НИА-Природа, 2002. — С. 105—113.
• Fundamental Physical Constants — Complete Listing. 2018 CODATA adjustment (англ.). nist.gov. CODATA, NIST (2018). Дата обращения: 9 мая 2022.