Планковская длина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Планковская длина (обозначаемая \ell_P \ ) — фундаментальная единица длины в планковской системе единиц, равная в Международной системе единиц (СИ) примерно 1,6·10−35 метров. Планковская длина — естественная единица длины, поскольку в неё входят только фундаментальные константы: скорость света, постоянная Дирака и гравитационная постоянная.

Планковская длина равна:

 \ell_P =\sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} ≈ 1,616 229(38)·10−35 м[1][2][3],

где:

Две последние цифры в скобках означают неопределённость (стандартное отклонение) последних двух разрядов[4][5].

Примерный радиус наблюдаемой Вселенной (13,6 миллиардов световых лет или 4,4·1026 м) равен 2,7·1061 планковских длин.

С точностью до множителя π, планковская масса равна массе чёрной дыры, радиус Шварцшильда которой равен её комптоновской длине волны. Радиус такой чёрной дыры будет по порядку величины равен планковской длине.

Планковская длина и евклидова геометрия[править | править вики-текст]

Гравитационное поле совершает нулевые колебания, и связанная с ним геометрия тоже колеблется. Отношение длины окружности к радиусу колеблется около евклидова значения: чем меньше масштаб, тем большими становятся отклонения от евклидовой геометрии. Оценим порядок длины волны нулевых гравитационных колебаний, при которой геометрия становится совсем не похожей на евклидову[6]. Степень отклонения \zeta геометрии от евклидовой в гравитационном поле определяется отношением гравитационного потенциала \varphi и квадрата скорости света c : \zeta=\varphi/c^2. Когда \zeta\ll 1, геометрия близка к евклидовой; при \zeta\sim 1 всякое сходство исчезает. Энергия колебания масштаба l равна E=\hbar\nu\sim \hbar c/l \, (c/l — порядок частоты колебаний). Гравитационный потенциал, создаваемый массой m, на такой длине есть \varphi=Gm/l, где G — постоянная всемирного тяготения. Вместо m следует подставить массу, которой, согласно формуле Эйнштейна, соответствует энергия E (m=E/c^2). Получаем \varphi=GE/l\,c^2=G\hbar/l^2c. Разделив это выражение на c^2, получим величину отклонения \zeta=G\hbar/c^3l^2=\ell^2_P/l^2. Приравняв \zeta=1, найдем ту длину, на которой полностью искажается евклидова геометрия. Она равна планковской длине \ell_P=\sqrt{G\hbar/c^3}\approx 10^{-35} м.

Связь комптоновской длины волны с радиусом Шварцшильда[править | править вики-текст]

Частица массой m имеет приведённую комптоновскую длину волны

\overline{\lambda}_{C} = \frac {\lambda_{C}}{2 \pi} = \frac {\hbar}{m c}

С другой стороны радиус Шварцшильда той же частицы равен

r_g = \frac{2Gm}{c^2}=2\,\frac{G}{c^3}\,mc

Произведение этих величин всегда постоянно и равно

r_g \overline{\lambda}_{C} = 2\,\frac{G}{c^3}\,\hbar = 2\ell_P^2

Соответственно, соотношение неопределенностей между радиусом Шварцшильда частицы и комптоновской длиной волны частицы будет иметь вид

\Delta r_g \Delta\overline{\lambda}_{C} \ge \frac{G}{c^3}\,\hbar = \ell_P^2

что является другой формой соотношения неопределенностей Гейзенберга на планковском масштабе. Действительно, подставляя сюда выражение для радиуса Шварцшильда, получим

\Delta \left(2\,\frac{G}{c^3}\,mc\right) \Delta\overline{\lambda}_{C} \ge\frac{G}{c^3}\,\hbar

Сокращая одинаковые константы, приходим к соотношению неопределенностей Гейзенберга

\Delta \left(mc\right) \Delta\overline{\lambda}_{C} \ge \frac{\hbar}{2}

Планковская длина является пределом расстояния, меньше которого сами понятия пространства и длины перестают существовать. Любая попытка исследовать существование более коротких расстояний (меньше, чем 1,6·10−35 метров), осуществляя столкновения при более высоких энергиях, неизбежно закончилась бы рождением черной дыры. Столкновения при больших энергиях, вместо того, чтобы дробить вещество на более мелкие кусочки, приведут к рождению черных дыр все большего размера[7]. Уменьшение комптоновской длины волны частицы приведет к увеличению радиуса Шваршильда чёрной дыры. Соотношение неопределенностей между радиусом Шварцшильда и комптоновской длиной волны порождает на планковском масштабе виртуальные черные дыры[8].

Квантование пространства и планковская длина[править | править вики-текст]

В середине прошлого века гипотеза о квантовании пространства-времени [9] на пути объединения квантовой механики и общей теории относительности привела к предположению о том, что существуют ячейки пространства-времени с минимально возможной длиной, равной фундаментальной длине.[10] Согласно этой гипотезе, степень влияния квантования пространства на проходящий свет зависит от размеров ячейки. Для исследования необходимо интенсивное излучение, прошедшее как можно большее расстояние. В настоящее время группа ученых воспользовалась данными съёмки гамма-вспышки GRB 041219A, осуществленной с европейского космического телескопа Integral. Гамма-вспышка GRB 041219A вошла в 1% самых ярких гамма-вспышек за весь период наблюдения, а расстояние до её источника не менее 300 миллионов световых лет. Наблюдение «Интеграла» позволило оценить размер ячейки на несколько порядков точнее, чем все предыдущие опыты такого плана.

Анализ данных показал — если зернистость пространства вообще существует, то она должна быть на уровне 10−48 метров или меньше.[11]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. В скобках указано стандартное отклонение. Таким образом, значение планковской длины можно представить в следующих формах:  \ell_P ≈ 1,616 229(38) · 10−35 м =
    = (1,616 229 ± 0,000 038) · 10−35 м =
    = [1,616191 ÷ 1,616267] · 10−35 м
  2. NIST, «Planck length»  (англ.), NIST’s published CODATA constants
  3. Fundamental Physical Constants — Complete Listing
  4. Лекции по Общей Астрофизике для Физиков. 1.5 Планковские единицы
  5. Томилин К. А. Планковские величины // 100 лет квантовой теории. История. Физика. Философия : Труды международной конференции. — М.: НИА-Природа, 2002. — С. 105—113.
  6. Мигдал А. Б. Квантовая физика для больших и маленьких, Библиотека «Квант», вып. 75, Москва, Наука,1989, с.116-117
  7. Б.-Дж. Карр, С.-Б. Гиддингс. Квантовые чёрные дыры // Scientific American. 2005, May, 48-55. / Сокр. пер. с англ. А. В. Беркова
  8. S. W. Hawking(1995) Virtual Black Holes
  9. Григорьев В.И. Квантование пространства-времени. Большая Советская Энциклопедия, 1987
  10. Киржниц Д.А. Фундаментальная длина. Большая Советская Энциклопедия, 1987
  11. P. Laurent, D. Götz, P. Binétruy, S. Covino, A. Fernandez-Soto Constraints on Lorentz Invariance Violation using integral/IBIS observations of GRB041219A // Physical Review D. — 2011-06-28. — Т. 83, вып. 12. — С. 121301. — DOI:10.1103/PhysRevD.83.121301.

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]