Планковская длина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Планковская длина (обозначаемая \ell_P \ ) — фундаментальная единица длины в планковской системе единиц, равная в Международной системе единиц (СИ) примерно 1,6·10−35 метров. Планковская длина — естественная единица длины, поскольку в неё входят только фундаментальные константы: скорость света, постоянная Дирака и гравитационная постоянная.

Планковская длина равна:

 \ell_P =\sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} ≈ 1,616 229(38)·10−35 м[1][2][3],

где:

Две последние цифры в скобках означают неопределённость (стандартное отклонение) последних двух разрядов[4][5].

Примерный радиус наблюдаемой Вселенной (46 миллиардов световых лет или 4,4·1026 м) равен 2,7·1061 планковских длин.

С точностью до множителя π, планковская масса равна массе чёрной дыры, радиус Шварцшильда которой равен её комптоновской длине волны. Радиус такой чёрной дыры будет по порядку величины равен планковской длине.

Простой анализ размерностей показывает, что измерение положения физических объектов с точностью до планковской длины проблематично. Действительно, проведём следующий мысленный эксперимент. Допустим, мы хотим определить положение объекта и посылаем на него поток электромагнитного излучения, то есть фотоны. Чем больше энергия фотонов, тем короче их длина волны и тем более точным будет измерение. Если бы фотон имел энергию, достаточную для измерения объектов размером с планковскую длину, то при взаимодействии с измеряемым объектом он сколлапсировал бы в микроскопическую чёрную дыру и провести измерение было бы невозможно. Таким образом, планковская длина накладывает фундаментальные ограничения на точность измерения длины.

Этот мысленный эксперимент использует как общую теорию относительности, так и принцип неопределённости квантовой механики. Обе теории предсказывают, что невозможно измерение с точностью, которая превосходит планковскую длину. Таким образом, в любой теории квантовой гравитации, комбинирующей общую теорию относительности и квантовую механику, традиционное представление о пространстве и времени неприменимо на расстояниях меньше планковской длины или для промежутков времени меньше, чем планковское время.

Планковская длина и евклидова геометрия[править | править вики-текст]

Гравитационное поле совершает нулевые колебания, и связанная с ним геометрия тоже колеблется. Отношение длины окружности к радиусу колеблется около евклидова значения: чем меньше масштаб, тем большими становятся отклонения от евклидовой геометрии. Оценим порядок длины волны нулевых гравитационных колебаний, при которой геометрия становится совсем не похожей на евклидову[11]. Степень отклонения \zeta геометрии от евклидовой в гравитационном поле определяется отношением гравитационного потенциала \varphi и квадрата скорости света c : \zeta=\varphi/c^2. Когда \zeta\ll 1, геометрия близка к евклидовой; при \zeta\sim 1 всякое сходство исчезает. Энергия колебания масштаба l равна E=\hbar\nu\sim \hbar c/l \, (c/l — порядок частоты колебаний). Гравитационный потенциал, создаваемый массой m, на такой длине есть \varphi=Gm/l, где G — постоянная всемирного тяготения. Вместо m следует подставить массу, которой, согласно формуле Эйнштейна, соответствует энергия E (m=E/c^2). Получаем \varphi=GE/l\,c^2=G\hbar/l^2c. Разделив это выражение на c^2, получим величину отклонения \zeta=G\hbar/c^3l^2=\ell^2_P/l^2. Приравняв \zeta=1, найдем ту длину, на которой полностью искажается евклидова геометрия. Она равна планковской длине \ell_P=\sqrt{G\hbar/c^3}\approx 10^{-35} м.

Связь комптоновской длины волны с радиусом Шварцшильда[править | править вики-текст]

Частица массой m имеет приведённую комптоновскую длину волны

\overline{\lambda}_{C} = \frac {\lambda_{C}}{2 \pi} = \frac {\hbar}{m c}

С другой стороны радиус Шварцшильда той же частицы равен

r_g = \frac{2Gm}{c^2}=2\,\frac{G}{c^3}\,mc

Произведение этих величин всегда постоянно и равно

r_g \overline{\lambda}_{C} = 2\,\frac{G}{c^3}\,\hbar = 2\ell_P^2

Соответственно, соотношение неопределенностей между радиусом Шварцшильда частицы и комптоновской длиной волны частицы будет иметь вид

\Delta r_g \Delta\overline{\lambda}_{C} \ge \frac{G}{c^3}\,\hbar = \ell_P^2

что является другой формой соотношения неопределенностей Гейзенберга на планковском масштабе. Действительно, подставляя сюда выражение для радиуса Шварцшильда, получим

\Delta \left(2\,\frac{G}{c^3}\,mc\right) \Delta\overline{\lambda}_{C} \ge\frac{G}{c^3}\,\hbar

Сокращая одинаковые константы, приходим к соотношению неопределенностей Гейзенберга

\Delta \left(mc\right) \Delta\overline{\lambda}_{C} \ge \frac{\hbar}{2}

Соотношение неопределенностей между гравитационным радиусом и комптоновской длиной волны частицы является частным случаем общего соотношения неопределенностей Гейзенберга на планковском масштабе

\Delta R_{\mu}\Delta x_{\mu}\ge\ell^2_{P}

где R_{\mu} — компонента радиуса кривизны малой области пространства-времени; x_{\mu} — сопряженная координата малой области.

Отсюда следует, что планковская длина является пределом расстояния, меньше которого сами понятия пространства и длины перестают существовать. Любая попытка исследовать существование более коротких расстояний (меньше, чем 1,6·10−35 метров), осуществляя столкновения при более высоких энергиях, неизбежно закончилась бы рождением черной дыры. Столкновения при больших энергиях, вместо того, чтобы дробить вещество на более мелкие кусочки, приведут к рождению черных дыр все большего размера[23]. Уменьшение комптоновской длины волны частицы приведет к увеличению радиуса Шваршильда чёрной дыры. Соотношение неопределенностей между радиусом Шварцшильда и комптоновской длиной волны порождает на планковском масштабе виртуальные черные дыры[24].

Квантование пространства и планковская длина[править | править вики-текст]

В середине прошлого века гипотеза о квантовании пространства-времени [25] на пути объединения квантовой механики и общей теории относительности привела к предположению о том, что существуют ячейки пространства-времени с минимально возможной длиной, равной фундаментальной длине.[26] Согласно этой гипотезе, степень влияния квантования пространства на проходящий свет зависит от размеров ячейки. Для исследования необходимо интенсивное излучение, прошедшее как можно большее расстояние. В настоящее время группа ученых воспользовалась данными съёмки гамма-вспышки GRB 041219A, осуществленной с европейского космического телескопа Integral. Гамма-вспышка GRB 041219A вошла в 1% самых ярких гамма-вспышек за весь период наблюдения, а расстояние до ее источника не менее 300 миллионов световых лет. Наблюдение «Интеграла» позволило оценить размер ячейки на несколько порядков точнее, чем все предыдущие опыты такого плана.

Анализ данных показал — если зернистость пространства вообще существует, то она должна быть на уровне 10-48 метров или меньше.[27]

С современной точки зрения гипотеза о квантовании пространства-времени является неудовлетворительной.[25] В действительности из уравнений Эйнштейна, как было показано, следует квантование кривизны пространства-времени. В соответствии с этим дисперсия световых лучей от удаленных галактик определяется не планковской длиной, а ее квадратом. Поэтому флуктуации скорости света будут неизмеримо малы даже на межгалактических расстояниях.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. В скобках указано стандартное отклонение. Таким образом, значение планковской длины можно представить в следующих формах:
     \ell_P ≈ 1,616 229(38) · 10−35 м =
    = (1,616 229 ± 0,000 038) · 10−35 м =
    = [1,616191 ÷ 1,616267] · 10−35 м
  2. NIST, «Planck length»  (англ.), NIST’s published CODATA constants
  3. Fundamental Physical Constants — Complete Listing
  4. Лекции по Общей Астрофизике для Физиков. 1.5 Планковские единицы
  5. Томилин К. А. Планковские величины // 100 лет квантовой теории. История. Физика. Философия : Труды международной конференции. — М.: НИА-Природа, 2002. — С. 105—113.
  6. 1 2 3 4 Klimets A.P. FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23 — 42
  7. Климец А.П. Геоны - реальные кандидаты на роль первичных микрочерных дыр и их значение для планковской физики. Материалы V Международной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатского-тихоокенского региона, Москва, 2001 г.
  8. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля, изд.8, М., Физматлит, 2003, с.411
  9. Erenfest P. Proc.Amsterdam acad.(1917) Vol.20 (перевод в книге Горелик Г.Е. Размерность пространства, М., Изд-во МГУ, 1983, с. 197-205)
  10. 1 2 3 4 Новиков И.Д., Фролов В.П. Физика черных дыр — Москва, Наука, 1986, с.296—298
  11. Мигдал А. Б. Квантовая физика для больших и маленьких, Библиотека «Квант», вып. 75, Москва, Наука,1989, с.116-117
  12. П.А.М.Дирак Общая теория относительности, М., Атомиздат, 1978, с.39
  13. Климец А.П. Постигая мироздание. LAP LAMBERT Academic Pablishing, Deutschland, 2012
  14. P. Laurent, D. Götz, P. Binetruy, S. Covino, A. Fernandez-Soto. Constraints on Lorentz Invariance Violation using INTEGRAL/IBIS observations of GRB041219A.arXiv.org
  15. Редже Т. Гравитационные поля и квантовая механика, в сб. "Альберт Эйнштейн и теория гравитации", Москва, Мир, 1979, с.463 (Regge T. Nuovo Cimento, 7, 215, 1958)
  16. Тредер Г.-Ю. Взгляды Гельмгольца, Планка и Эйнштейна на единую физическую теорию. В сб. Проблемы физики; классика и современность., Москва, Мир, 1982, с. 305
  17. 1 2 Мизнер Р., Торн К., Уилер Дж., Гравитация, том 3, Москва, Мир, 1977, с.457
  18. Горелик Г Е "Матвей Бронштейн и квантовая гравитация. К 70-летию нерешенной проблемы" УФН 175 1093–1108 (2005)
  19. Nature, 2003
  20. Марков М.А. О природе материи — Москва, Наука, 1976, с.210
  21. Марков М.А. Может ли гравитационное поле оказаться существенным в теории элементарных частиц, в сб. "Альберт Эйнштейн и теория гравитации", Москва, Мир, 1979, с.467-478 (M.A.Markov, Can the Gravitational Field Prove Essential for the Theory of Elementary Particles?, Progr. Theor. Phys., Suppl. Extra Number, 1965, p. 85.)
  22. Материя может быть построена из черных дыр, MEMBRANA, 2009
  23. Б.-Дж. Карр, С.-Б. Гиддингс. Квантовые чёрные дыры // Scientific American. 2005, May, 48-55. / Сокр. пер. с англ. А. В. Беркова
  24. S. W. Hawking(1995) Virtual Black Holes
  25. 1 2 Григорьев В.И. Квантование пространства-времени. Большая Советская Энциклопедия, 1987
  26. Киржниц Д.А. Фундаментальная длина. Большая Советская Энциклопедия, 1987
  27. P. Laurent, D. Götz, P. Binétruy, S. Covino, A. Fernandez-Soto Constraints on Lorentz Invariance Violation using integral/IBIS observations of GRB041219A // Physical Review D. — 2011-06-28. — Т. 83, вып. 12. — С. 121301. — DOI:10.1103/PhysRevD.83.121301.

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]